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《研究生数学系列规划教材:拓扑学》是一本拓扑学的基础教材，全书分成三十二讲，内容包括三个部分：点集拓扑学部分、代数拓扑学部分和拓扑群部分，重点放在前两部分。前十三讲属于点集拓扑学部分，主要讲点集拓扑学的基本概念，连续映射与同胚，拓扑空间的几种常见运算（如积空间、商空间等）以及主要的拓扑性质（如分离性、可数性、紧性、连通性等），并简要地介绍了曲面分类、函数空间和网与滤子的基本知识；第十四至二十九讲属于代数拓扑学部分，主要讲基本群、复叠空间、单纯同调群及相关的基本知识及其经典的应用；最后三讲属于拓扑群部分，主要介绍一些基本概念。《研究生数学系列规划教材:拓扑学》内容丰富（有意识地编入了许多资料性的内容），结构严谨，叙述深入浅出，定理证明详尽明白。为便于理解，还配备了相当数量的图形、大量的例题和书后习题。《研究生数学系列规划教材:拓扑学》可作为综合性大学数学系和师范院校高年级本科生的教学用书，也可以作为非拓扑学专业的数学系研究生学位课的教材，对于其他数学工作者而言，也是一本好用的拓扑学参考资料。

符号说明 编者序言 引言 第一部分点集拓扑学 第一讲预备知识10 1.1集合代数与关系10 1.2函数与等价关系12 1.3序关系与选择公理14 1.4集合的可数性18 1.5基数简介20 习题122 第二讲拓扑空间的基本概念25 2.1拓扑空间的定义25 2.2度量拓扑27 2.3拓扑空间的几个基本概念28 2.4子空间33 习题234 第三讲拓扑空间之间的连续映射与同胚37 3.1连续映射的定义37 3.2连续映射的性质39 3.3同胚映射42 3.4嵌入与嵌入映射44 习题344 第四讲拓扑基与Tychonoff积空间47 4.1拓扑基与子基47 4.2乘积空间51 习题457 第五讲分离性公理与可数性公理61 5.1分离性公理61 5.2可数性公理69 5.3拓扑性质的可遗传性与可乘性72 习题573 第六讲Uryshon引理及其应用76 6.1Uryshon引理76 6.2Tietze扩张引理79 6.3Uryshon度量化定理82 习题684 第七讲拓扑空间的紧致性与列紧性87 7.1紧致与列紧的定义88 7.2列紧空间的性质89 7.3紧致空间的性质91 习题796 第八讲局部紧性与仿紧性99 8.1局部紧性99 8.2仿紧性103 习题8110 第九讲连通性与道路连通性112 9.1连通性的定义及例子112 9.2连通空间的性质113 9.3连通分支116 9.4局部连通性117 9.5道路及其运算118 9.6道路连通空间119 9.7道路连通分支121 9.8局部道路连通122 习题9125 第十讲商空间与商映射127 10.1商空间127 10.2拓扑锥130 10.3贴空间130 10.4映射柱与映射锥132 10.5商映射133 10.6几个例子137 习题10138 第十一讲闭曲面及其分类141 11.1拓扑流形的概念141 11.2闭曲面141 11.3两类闭曲面142 11.4闭曲面分类定理144 习题11149 第十二讲点网、滤子与收敛性概念的扩张151 12.1点网151 12.2滤子157 习题12160 第十三讲函数空间162 13.1点态收敛拓扑162 13.2X上的一致收敛拓扑163 13.3紧开拓扑166 13.4k—空间与Ascoli定理169 习题13172 第二部分代数拓扑学 第十四讲映射的同伦与基本群的定义176 14.1映射的同伦176 14.2道路类的逆与乘积181 14.3道路类的运算性质183 14.4空间的基本群定义185 14.5连续映射诱导的基本群同态185 14.6基本群与基点的关系186 习题14187 第十五讲球面Sn的基本群190 15.1S1的基本群190 15.2n≥2时Sn是单连通的194 15.3T2的基本群195 习题15196 第十六讲基本群的同伦不变性198 16.1同伦的映射所诱导的基本群的同态之间的关系198 16.2拓扑空间的同伦等价200 16.3形收缩核201 16.4可缩空间208 习题16209 第十七讲基本群的计算212 17.1Seifert—VanKampen定理212 17.2Seifert—VanKampen定理应用举例216 17.3轨道空间与基本群220 习题17222 第十八讲基本群的若干应用224 18.1闭曲面分类定理证明的完成224 18.2Brouwer不动点定理2维情形的证明226 18.3代数基本定理的证明227 18.4曲面的边界问题227 18.5扭结群的Wirtinger表示228 18.6平面的分离问题233 习题18235 第十九讲复叠空间及其基本性质236 19.1复叠映射与复叠空间236 19.2映射的提升问题240 19.3复叠空间的基本群244 19.4复叠空间的分类249 习题19250 第二十讲复叠换与正则复叠空间253 20.1复叠换253 20.2正则复叠空间255 20.3泛复叠空间258 20.4四元数简介261 习题20262 第二十一讲单纯复形的同调群263 21.1单纯形263 21.2单纯复（合）形265 21.3多面体与可剖分空间267 21.4承载单形269 21.5单形的定向270 21.6链群270 21.7边缘同态271 21.8同调群274 习题21277 第二十二讲同调群的简单性质、G系数同调群280 22.1同调群的简单性质280 22.20—维同调群281 22.31—维同调群与基本群的关系282 22.4Euler—Poincare公式284 22.5以交换群G为系数群的同调群285 习题22286 第二十三讲同调群的基本计算288 习题23296 第二十四讲单纯映射与单纯逼近298 24.1单纯映射298 24.2单纯映射诱导的同调群的同态300 24.3单纯逼近303 24.4重心重分306 24.5单纯逼近存在定理308 习题24310 第二十五讲连续映射诱导的同调群同态313 25.1链复形、链映射和链同伦313 25.2同调群的重分不变性317 25.3诱导同调fq的定义320 25.4多面体与可剖分空间的同调群321 习题25324 第二十六讲同调群的同伦不变性326 26.1同调群的同伦不变性326 26.2同调群计算再举例327 习题26333 第二十七讲Mayer—Vietoris同调序列334 27.1简约同调群334 27.2相对同调群335 27.3同调代数的基本知识，正合同调序列337 27.4Mayer—Vietoris同调序列342 习题27347 第二十八讲球面自映射的映射度及其应用349 28.1球面自映射的映射度的定义和性质349 28.2对径映射的映射度及其应用352 28.3保径映射的映射度356 28.4Borsuk—Ulam定理359 习题28361 第二十九讲Lefschetz不动点定理363 29.1代数准备363 29.2有限复形K的迹数365 29.3可剖分空间的Lefschetz数367 习题29370 第三部分拓扑群基础 第三十讲拓扑群的基本概念与基本性质372 30.1拓扑群的概念372 30.2拓扑群的性质374 习题30380 第三十一讲拓扑群的子群、商群与拓扑换群382 31.1拓扑群的子群382 31.2拓扑群的商群385 31.3拓扑换群390 习题31394 第三十二讲拓扑群的可乘性、分离性、连通性与逆极限396 32.1拓扑群的积396 32.2拓扑群的分离性397 32.3拓扑群的连通性401 32.4逆极限404 习题32407 索引409 参考文献418

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