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本書は2次元の共形場理論の基礎事項の解説を目的とした本である．対象としては大学院レベルの学生を想定している．2次元の共形場理論は，Belavin–Polyakov–Zamolodchikov (BPZ)の1984年の論文[13]により確立し，理論物理の基礎としての確固たる位置を占めている．超弦理論や2次元臨界現象への応用等，物理分野への影響のみならず，数学の分野へも大きな影響を与えている．その内容は膨大なものであり，すでに定評のあるレヴューや教科書も洋書，和書を問わずたくさんある．本書では共形場理論の最新の話題まで踏み込むことはやめ，本当に基礎的な知識に限定した．そのため内容はミニマル模型に関するものに限ることにし，特にBPZの論文を丁寧に解説することを試みた．BPZ論文は共形場理論の“古典”であり，簡潔ながら深い内容をもち，何度読みかえしてもためになる論文のひとつである．本書の内容は1章から3章までは，共形場理論の導入部であり，ここまでで共形場理論の概要をつかめるようにした．4章からはVirasoro代数の表現，相関関数の計算，トーラス上のモジュラー不変性，境界のある共形場理論を説明しミニマル模型について一通りの説明を行った．本書を読むための予備知識としては場の理論の入門的事項，リー代数，リー群等の知識を仮定している．また複素関数，楕円関数，特殊関数等の知識も用いる．本書を書くにあたり，場の理論，リー代数，リー群に関しては文献[16]～[18]，複素関数論については文献[20], [30], [47]等を参考にした．本書を書くにあたり特に本[1]～[6]，レビュー論文[8]～[10],および論文選集[11], [12]を参考にした．本書でカバーできなかったより進んだ話題としてはAffineリー代数とその自由場表現[6],GKO構成法[2]，W代数と量子ハミルトニアン縮約[14]，c= 1 CFT[8]，Rational CFT[15], [56]，CFTの変形[4]，超共形代数とその表現論[3]がある．この話題については他書，レビューの解説を参照してもらいたい．また，共形場理論の応用として重要なものは超弦理論であるが本書では扱わない．これについては例えば文献[7]を参照してもらいたい．本書を書くにあたり，松尾泰氏，鴨下智君，横山大輔君のコメントが大いに参考になった．また平勢耕介氏をはじめとするサイエンス社の編集部の方々および伊崎修通氏には本書を完成するにあたり大変お世話になった．ここに感謝したい

目次 第1章 共形変換11.1直交変換........................................11.2共形変換........................................31.2.1無限小変換...................................31.2.2有限共形変換.................................71.3 2次元の共形変換...................................81.3.1複素座標....................................91.3.2大局的共形変換................................91.3.3無限小共形変換................................10 第2章 場と共形不変性122.1作用と保存量.....................................122.1.1場の共形変換.................................122.1.2共形変換と保存量...............................152.2経路積分と相関関数..................................182.3共形Ward恒等式...................................202.3.1 2点関数....................................212.3.2 3点関数....................................222.3.3 4点関数....................................24 第3章2次元共形不変性263.1 Primary場......................................263.1.1 quasi primary場...............................263.1.2無限小共形変換................................273.1.3 2次元の無限小共形変換とprimary場....................283.2無限小共形Ward恒等式...............................293.3演算子積と交換関係..................................343.4 Virasoro代数.....................................373.4.1セントラルチャージ..............................373.4.2 Virasoro代数.................................383.4.3 CFTのHilbert空間.............................403.4.4 BPZ共役...................................41 3.5自由スカラー場....................................443.6複合演算子のOPE..................................453.7頂点演算子.......................................473.8自由フェルミオン...................................49 第4章Virasoro代数の表現と相関関数534.1 Virasoro代数の表現..................................534.2 Descendant場.....................................554.3 OPEとBootstrap..................................594.4 Crossing対称性....................................62 第5章 ミニマル模型655.1 Virasoro代数の縮退表現...............................655.1.1ヌルベクトルの構成..............................665.2ヌル場と相関関数...................................705.2.1 4点関数....................................715.3 Fusion則.......................................735.4ミニマル模型.....................................765.5 Kac行列式とユニタリー性..............................805.6共形ブロックとmonodromy不変性.........................845.7 4点関数とOPE係数.................................905.8 Kacスペクトルと自由場...............................935.9相関関数の自由場表示.................................95 第6章 トーラス上のミニマル模型1006.1円筒面上のCFT....................................1006.2トーラス上のCFT..................................1026.2.1分配関数....................................1026.2.2 Virasoro代数の指標.............................1046.2.3ミニマル模型の指標..............................1046.2.4 theta関数...................................1076.3分配関数のモジュラー不変性.............................1106.3.1トーラスのモジュラー変換..........................1116.3.2 Poissonの公式................................1126.3.3 theta関数のモジュラー変換性........................1136.3.4 Virasoro指標のモジュラー変換性......................1156.3.5 ADE分類...................................1206.4モジュラー不変性の応用................................120iii 6.5 Verlindeの公式....................................124 第7章Boundary CFT1267.1 2点関数........................................1267.2 2重化のトリック...................................1297.3境界演算子.......................................1327.4境界状態........................................1357.4.1 BCFTとVerlindeの公式...........................140 参考文献142 索引145

著者略 歴伊い藤とう克かつ司し 1962年生 1990年 東京大学大学院理学系研究科物理学専攻博士課程修了，理学博士 2009年 東京工業大学大学院理工学研究科基礎物理学専攻教授 現 在 東京工業大学理学院物理学系教授専門素粒子物理学 主要著書『解析力学』（講談社基礎物理学シリーズ5）（2009），『ストリング理論』第1巻（2005），第2巻（2006），J.ポルチンスキー著，シュプリンガー・ジャパン，翻訳（共訳者：小竹悟，松尾泰）．

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