机器学习线性代数基础

数学是机器学习绕不开的基础知识，传统教材的风格偏重理论定义和运算技巧，想以此高效地打下机器学习的数学基础，针对性和可读性并不佳。 本书以机器学习涉及的线性代数核心知识为重点，进行新的尝试和突破：从坐标与变换、空间与映射、近似与拟合、相似与特征、降维与压缩这5个维度，环环相扣地展开线性代数与机器学习算法紧密结合的核心内容，并分析推荐系统和图像压缩两个实践案例。 本书在介绍完核心概念后，还将线性代数的应用领域向函数空间和复数域中进行拓展与延伸；同时极力避免数学的晦涩枯燥，充分挖掘线性代数的几何内涵，并以Python语言为工具进行数学思想和解决方案的有效实践。 本书适合实践于数据分析、信号处理等工程领域的读者，也适合在人工智能、机器学习领域进行理论学习和实践，希望筑牢数学基础的读者，以及正在进行线性代数课程学习的读者阅读。

前言 第1章 坐标与变换：高楼平地起 1.1 描述空间的工具：向量 1.1.1 重温向量 1.1.2 通常使用列向量 1.1.3 使用Python语言表示向量 1.1.4 简单生成列向量 1.1.5 向量的加法 1.1.6 向量的数量乘法 1.1.7 向量间的乘法：内积和外积 1.1.8 先数乘后叠加：向量的线性组合 1.2 基底构建一切，基底决定坐标 1.2.1 向量的坐标 1.2.2 向量的坐标依赖于选取的基底 1.2.3 向量在不同基底上表示为不同坐标 1.2.4 疑问：任意向量都能作为基底吗 1.2.5 构成基底的条件 1.2.6 张成空间 1.3 矩阵，让向量动起来 1.3.1 矩阵：排列的向量，堆放的数字 1.3.2 特殊形态的矩阵 1.3.3 向量：可以视作一维矩阵 1.3.4 矩阵的加法运算 1.3.5 矩阵的数量乘法运算 1.3.6 矩阵与矩阵的乘法 1.3.7 矩阵乘以向量：改变向量的空间位置 1.4 矩阵乘向量的新视角：变换基底 1.4.1 重温运算法则 1.4.2 列的角度：重新组合矩阵的列向量 1.4.3 再引申：向量的基底的变换 1.4.4 运算矩阵的各列就是映射后的新基底 1.4.5 扩展：三阶方阵的情况 1.4.6 更一般地：m×n矩阵乘以n维列向量 1.4.7 关于基变换：一些意外情况 第2章 空间与映射：矩阵的灵魂 2.1 矩阵：描述空间中的映射 2.1.1 矩阵表示的空间映射 2.1.2 降维了，“矮胖”矩阵对空间的压缩 2.1.3 罩不住，“高瘦”矩阵无法覆盖目标空间 2.1.4 方阵，也得分情况讨论 2.1.5 秩：决定映射后的空间形态 2.1.6 利用Python语言求解矩阵的秩 2.2 追因溯源：逆矩阵和逆映射 2.2.1 逆矩阵 2.2.2 类比反函数与矩阵的逆映射 2.2.3 “矮胖”矩阵压缩空间：不存在逆映射 2.2.4 零空间的概念 2.2.5 “高瘦”矩阵不存在逆映射：目标空间无法全覆盖 2.2.6 列空间的概念 2.2.7 方阵：逆映射存在的必要但不充分条件 2.2.8 逆矩阵存在的条件 2.2.9 终极结论 2.2.10 利用Python语言求解逆矩阵 2.3 向量空间和子空间 2.3.1 向量空间 2.3.2 延伸到子空间 2.3.3 列空间 2.3.4 零空间 2.3.5 行空间 2.3.6 左零空间 2.3.7 秩：连接起4个子空间 2.3.8 空间举例 2.4 老树开新花，道破方程组的解 2.4.1 从空间映射的角度谈方程组 2.4.2 决定方程组解的个数的因素 2.4.3 从空间的角度理解：解的表达方式 2.4.4 实例说明 2.4.5 利用Python语言求解线性方程组 第3章 近似与拟合：真相最近处 3.1 投影，寻找距离最近的向量 3.1.1 两个需要近似处理的问题 3.1.2 从投影的角度谈“最近” 3.1.3 利用矩阵描述向一维直线的投影 3.1.4 向二维平面投影 3.1.5 一般化：向n维子空间投影 3.1.6 补充讨论一下ATA的可逆性 3.1.7 回顾本章开篇的两个问题 3.2 深入剖析最小二乘法的本质 3.2.1 互补的子空间 3.2.2 正交的子空间 3.2.3 相互正交补的子空间 3.2.4 处理无解方程组的近似解 3.2.5 最小二乘法线性拟合 3.3 施密特正交化：寻找最佳投影基 3.3.1 简化投影计算：从ATA表达式入手 3.3.2 标准正交向量 3.3.3 向标准正交向量上投影 3.3.4 施密特正交化 3.3.5 举例说明 第4章 相似与特征：最佳观察角 4.1 相似变换：不同的视角，同一个变换 4.1.1 重要回顾：坐标值取决于基底 4.1.2 描述线性变换的矩阵也取决于基底 4.1.3 相似矩阵和相似变换的概念 4.1.4 利用基底变换推导相似矩阵间的关系式 4.1.5 寻找相似矩阵中的最佳矩阵 4.1.6 对角矩阵的构造方法 4.2 对角化：寻找最简明的相似矩阵 4.2.1 构造对角化转换矩阵P的思路 4.2.2 引入特征向量和特征值 4.2.3 几何意义 4.2.4 用基变换的方法再次推导对角化过程 4.3 关键要素：特征向量与特征值 4.3.1 几何意义回顾 4.3.2 基本几何性质 4.3.3 特征向量的线性无关性讨论 4.3.4 特征值与特征向量的Python求解方法 第5章 降维与压缩：抓住主成分 5.1 最重要的矩阵：对称矩阵 5.1.1 对称矩阵基本特性回顾 5.1.2 实对称矩阵一定可以对角化 5.1.3 特征向量标准正交 5.1.4 对称矩阵的分解形式 5.1.5 AAT与ATA的秩 5.1.6 ATA对称矩阵的正定性描述 5.1.7 ATA与AAT的特征值 5.1.8 对称矩阵的性质总结 5.2 数据分布的度量 5.2.1 期望与方差 5.2.2 协方差与协方差矩阵 5.3 利用特征值分解（EVD）进行主成分分析（PCA） 5.3.1 数据降维的需求背景 5.3.2 数据降维的目标：特征减少，损失要小 5.3.3 主成分分析法降维的思路 5.3.4 剖析PCA：构造彼此无关的新特征 5.3.5 结合例子实际操作 5.3.6 新得到的特征如何取舍 5.3.7 衡量信息的损失 5.3.8 推广到n个特征的降维 5.4 更通用的利器：奇异值分解（SVD） 5.4.1 特征值分解的几何意义 5.4.2 从Av= σu入手奇异值分解 5.4.3 着手尝试分解 5.4.4 分析分解过程中的细节 5.5 利用奇异值分解进行数据降维 5.5.1 行压缩数据降维 5.5.2 列压缩数据降维 5.5.3 对矩阵整体进行数据压缩 5.5.4 利用Python语言进行奇异值分解 5.5.5 行和列的数据压缩实践 5.5.6 利用数据压缩进行矩阵近似 第6章 实践与应用：线代用起来 6.1 SVD在推荐系统中的应用 6.1.1 应用背景 6.1.2 整体思路及源代码展示 6.1.3 衡量菜品之间的相似性 6.1.4 真实稀疏数据矩阵的降维处理 6.1.5 评分估计 6.1.6 菜品推荐结果 6.1.7 方法小结 6.2 利用SVD进行彩色图片压缩 6.2.1 完整源代码展示 6.2.2 图像的数据表示 6.2.3 灰度图的处理 6.2.4 彩色图像的压缩处理思路 6.2.5 代码实现及试验结果 第7章 函数与复数域：概念的延伸 7.1 傅里叶级数：从向量的角度看函数 7.1.1 函数：无穷维向量 7.1.2 寻找一组正交的基函数 7.1.3 周期函数与傅里叶级数 7.1.4 傅里叶级数中的系数 7.1.5 非周期函数与傅里叶变换 7.1.6 思维拓展分析 7.2 复数域中的向量和矩阵 7.2.1 回顾：复数和复平面 7.2.2 实数域的拓展：共轭转置 7.2.3 厄米矩阵 7.2.4 酉矩阵 7.2.5 傅里叶矩阵与离散傅里叶变换 7.2.6 思维拓展分析

张雨萌，毕业于清华大学计算机系，现就职于中国舰船研究设计中心，长期从事人工智能领域相关研究工作，主要研究方向为数据分析、自然语言处理。

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