微积分和数学分析引论 (第一卷)

本书系统地阐述了微积分学的基本理论.在叙述上,作者尽量做到既严谨而又通俗易慌,并指出概念之间的内在联系和直观背景.原书分两卷,第一卷为单变量情形;第二卷为多变量情形. 第一卷包括九章,前三章主要介绍函数、极限、微分和积分的基本概念及其运算;第四章介绍微积分在物理和几何中的应用;第五章讲述泰勒展开式;第六章讲述数值方法;第七章介绍无穷和与无穷乘积的槟念;第八章为三角级数;第九章是与振动有关的最简单类型的微分方程.本书包含大量的例题和习题,有助于读者理解本书的内容 读者对象为高等学校理工科大学师生、数学工作者和工程技术人员.

目录 第一章 引言 1 1.1 实数连续统 1 a.自然数系及其扩充.计数和度量 2 b.实数和区间套 5 c.十进小数.其他进位制 7 d.邻域的定义 10 e.不等式 10 1.2 函数的概念 14 a.映射—— 图形 15 b.单连续变量的函数概念的定义.函数的定义域和值域 18 c.函数的图形表示.单调函数 20 d.连续性 24 e.中间值定理.反函数 34 1.3 初等函数 37 a.有理函数 37 b.代数函数 37 c.三角函数 38 d.指数函数和对数函数 40 e.复合函数.符号积.反函数 41 1.4 序列 44 1.5 数学归纳法 45 1.6 序列的极限 48 a. 48 b. 49 c. 50 d. 52 f.的极限之几何解释 53 g.几何级数 54 h. 55 i. 55 j.其中α>1 56 1.7 再论极限概念 56 a.收敛和发散的定义 56 b.极限的有理运算 57 c.内在的收敛判别法.单调序列 58 d.无穷级数及求和符号 60 e.数e 62 f.作为极限的数π 65 1.8 单连续变量的函数的极限概念 66 a.初等函数的一些注记 70 补篇 72 S1 极限和数的概念 73 a.有理数 73 b.有理区间套序列定义实数 74 *c.实数的顺序、极限和算术运算 75 d.实数连续统的完备性.闭区间的紧致性.收敛判别法则 77 e.最小上界和最大下界 80 f.有理数的可数性 80 S2 关于连续函数的定理 82 S3 极坐标 84 S4 关于复数的注记 85 问题 87 第二章 积分学和微分学的基本概念 102 2.1 积分 103 a.引言 103 b.作为面积的积分 104 c.积分的分析定义.表示法 105 2.2 积分的初等实例 108 a.线性函数的积分 108 b.x2的积分 110 c.xα的积分(α是不等于？1的整数) 111 d.xα的积分(α是不等于？1的有理数) 114 e.sin x和cos x的积分 115 2.3 积分的基本法则 116 a.可加性 116 b.函数之和的积分.函数与常数乘积的积分 117 c.积分的估值 118 d.积分中值定理 119 2.4 作为上限之函数的积分—— 不定积分 122 2.5 用积分定义对数 124 a.对数函数的定义 124 b.对数的加法定理 126 2.6 指数函数和幂函数 128 a.数e 的对数 128 b.对数函数的反函数.指数函数 129 c.作为幂的极限的指数函数 130 d.正数的任意次幂的定义 131 e.任一底的对数 132 2.7 x的任意次幂的积分 132 2.8 导数 134 a.导数与切线 134 b.作为速度的导数 139 c.微分法举例 140 d.一些基本的微分法则 142 e.函数的可微性和连续性 143 f.高阶导数及其意义 145 g.导数和差商.莱布尼茨表示法 147 h.微分中值定理 148 i.定理的证明 150 j.函数的线性近似.微分的定义 153 k.关于在自然科学中的应用的一点评述 157 2.9 积分、原函数和微积分基本定理 158 a.不定积分的导数 158 b.原函数及其与积分的关系 160 c.用原函数计算定积分 162 d.例 164 补篇 连续函数的定积分的存在性 165 问题 168 第三章 微分法和积分法 174 第一部分 初等函数的微分和积分 174 3.1 最简单的微分法则及其应用 174 a.微分法则 174 b.有理函数的微分法 177 c.三角函数的微分法 178 3.2 反函数的导数 179 a.一般公式 179 b.n 次幂的反函数:n次根 181 c.反三角函数——多值性 182 d.相应的积分公式 185 e.指数函数的导数与积分 187 3.3 复合函数的微分法 187 a.定义 187 b.链式法则 188 c.广义微分中值定理 192 3.4 指数函数的某些应用 193 a.用微分方程定义指数函数 193 b.连续复利.放射性蜕变 193 c.物体被周围介质冷却或加热 195 d.大气压随地面上的高度的变化 195 e.化学反应过程 196 f.电路的接通或断开 197 3.5 双曲函数 197 a.分析的定义 197 b.加法定理和微分公式 200 c.反双曲函数 200 d.与三角函数的其他相似性 202 3.6 最大值和最小值问题 204 a.曲线的下凸和上凸 204 b.最大值和最小值——极值问题.平稳点 206 *3.7 函数的量阶 214 a.量阶的概念.最简单的情形 214 b.指数函数与对数函数的量阶 215 c.一点注记 217 d.在一点的邻域内函数的量阶 217 e.函数趋向于零的量阶 218 f.量阶的“O”和“o”表示法 218 附录 220 A.1 一些特殊的函数 221 a.函数 221 b.函数 222 c.函数 222 d.函数 223 e.函数 223 A.2 关于函数可微性的注记 224 第二部分 积分法 226 3.8 初等积分表 227 3.9 换元法 228 a.换元公式.复合函数的积分 228 *b.换元公式的另一种推导方法 232 c.例.积分公式 233 3.10 换元法的其他实例 234 3.11 分部积分法 238 a.一般公式 238 b.分部积分的其他例子 239 c.关于f(b)+f(a)的积分公式 241 d.递推公式 241 e.π的沃利斯(Wallis)无穷乘积表示 243 *3.12 有理函数的积分法 245 a.基本类型 246 b.基本类型的积分 247 c.部分分式 248 d.分解成部分分式举例.待定系数法 250 3.13 其他几类函数的积分法 252 a.圆和双曲线的有理表示法初阶 252 *b.R(cos x, sin x)的积分法 255 c.R(cosh x, sin hx)的积分法 256 d.的积分法 256 e.的积分法 256 *f.的积分法 257 g.的积分法 257 h.化为有理函数积分的其他例子 258 i.注记 258 第三部分 积分学的进一步发展 259 3.14 初等函数的积分 259 a.用积分定义的函数.椭圆积分和椭圆函数 259 b.关于微分和积分 262 3.15 积分概念的推广 262 a.引言.反常积分的定义 262 b.无穷间断的函数 264 c.作为面积的解释 265 d.收敛判别法 265 e.无穷区间上的积分 267 f.Γ(伽马)函数 268 g.狄利克雷(Dirichlet)积分 269 h.变量置换.菲涅尔(Fresnel)积分 271 3.16 三角函数的微分方程 272 a.关于微分方程的初步说明 272 b.由微分方程和初始条件定义的sin x和cos x 272 问题 274 第四章 在物理和几何中的应用 286 4.1 平面曲线理论 286 a.参数表示 286 b.参数变换 287 c.沿曲线的运动.时间作为参量.摆线的例子 289 d.曲线的分类.定向 293 e.导数.切线和法线的参数表示 300 f.曲线的长度 304 g.弧长作为参数 309 h.曲率 310 i.坐标轴变换, 不变量 315 *j.狭义相对论中的匀速运动 317 k.表示闭曲线内部面积的积分 319 l.质量中心和曲线的矩 325 m.旋转曲面的面积和体积 326 n.惯性矩 327 4.2 例 328 a.普通摆线 328 b.悬链线 329 c.椭圆和双纽线 330 4.3 二维向量 331 a.用平移定义向量.记号 331 b.向量的加法和乘法 334 c.变向量及其导数和积分 341 d.对平面曲线的应用.方向、速度和加速度 342 4.4 在给定力作用下质点的运动 345 a.牛顿运动定律 346 b.落体运动 347 c.约束在给定曲线上的质点的运动 348 4.5 受到空气阻力的自由落体运动 350 4.6 最简单的一类弹性振动—— 弹簧的运动 351 *4.7 在给定曲线上的运动 352 a.微分方程和它的解 352 b.沿一曲线下滑的质点 354 c.运动的讨论 355 d.普通摆 356 e.圆滚摆 358 *4.8 引力场中的运动 359 a.牛顿万有引力定律 359 b.绕引力中心的圆周运动 360 c.径向运动—— 逃逸速度 362 4.9 功和能 363 a.力在运动中所做的功 363 b.功和动能.能量守恒 365 c.两个质点间的相互引力 366 d.弹簧的拉伸 367 *e.电容器充电 367 附录 368 *A.1 法包线的性质 368 *A.2 闭曲线包围的面积.指数 374 问题 377 第五章 泰勒展开式 382 5.1 引言:幂级数 382 5.2 对数和反正切的展开式 384 a.对数函数 384 b.反正切函数 386 5.3 泰勒定理 387 a.多项式的泰勒表示 387 b.非多项式函数的泰勒公式 387 5.4 余项的表示式及其估计 388 a.柯西和拉格朗日余项 388 b.泰勒公式的另一种推导法 391 5.5 初等函数的展开式 394 a.指数函数 394 b.sin x,cos x,sinh x,cosh x的展开式 395 c.二项式级数 396 5.6 几何应用 398 a.曲线的接触 398 b.关于相对极大值和相对极小值的理论 401 附录I 401 A.I.1 不能展成泰勒级数的函数的例 401 A.I.2 函数的零点和无限点 402 a.n 阶零点 402 b.ν 阶无限 403 A.I.3 不定式 403 *A.I.4 各阶导数都不为负的函数的泰勒级数的收敛性 406 附录II 插值法 409 *A.II.1 插值问题.唯一性 409 A.II.2 解的构造.牛顿插值公式 410 A.II.3 余项的估计 413 A.II.4 拉格朗日插值公式 415 问题 416 第六章 数值方法 420 6.1 积分的计算 420 a.矩形近似公式 421 b.改进的近似式——辛普森法则 421 6.2 数值方法的另一些例 428 a.误差计算 428 *b.π 的计算 430 *c.对数的计算 431 6.3 方程的数值解法 433 a.牛顿法 433 *b.假位法 435 c.迭代法 436 d.迭代与牛顿程序 439 附录 441 *A.1 斯特林公式 441 问题 444 第七章 无穷和与无穷乘积 447 7.1 收敛与发散的概念 448 a.基本概念 448 b.绝对收敛与条件收敛 450 *c.项的重新排列 453 d.无穷级数的运算 456 7.2 绝对收敛和发散的判别法 456 a.比较判别法.控制级数 456 b.与几何级数相比较的收敛判别法 457 c.与积分相比较 460 7.3 函数序列 462 a.函数与曲线序列的极限过程 462 7.4 一致收敛与不一致收敛 464 a.一般说明和定义 464 b.一致收敛的一个判别法 469 c.连续函数的一致收敛级数之和的连续性 470 d.一致收敛级数的积分 471 e.无穷级数的微分法 473 7.5 幂级数 474 a.幂级数的收敛性质—— 收敛区间 474 b.幂级数的积分法和微分法 476 c.幂级数的运算 477 d.展开式的唯一性 478 *e.解析函数 478 7.6 给定函数的幂级数展开式.待定系数法.例 479 a.指数函数 479 b.二项式级数 480 c.arcsin x的级数 482 d.的级数 482 e.级数乘法的例 483 f.逐项积分的例(椭圆积分) 483 7.7 复数项幂级数 484 a.在幂级数中引进复数项.三角函数的复数表示式 484 *b.复变函数一般理论一瞥 486 附录 487 *A.1 级数的乘法和除法 487 a.绝对收敛级数的乘法 487 *b.幂级数的乘法和除法 488 *A.2 无穷级数与反常积分 489 *A.3 无穷乘积 491 *A.4 含有伯努利数的级数 494 问题 496 第八章 三角级数 504 8.1 周期函数 505 a.一般说明.函数的周期开拓 505 b.一个周期上的积分 506 c.谐振 507 8.2 谐振的叠加 508 a.谐波.三角多项式 508 *b.拍 511 8.3 复数表示法 512 a.一般说明 512 *b.交流电上的应用 513 c.三角多项式的复数表示法 515 d.一个三角公式 516 8.4 傅里叶级数 517 a.傅里叶系数 517 b.基本引理 518 c.的证明 519 d.函数φ(x)=x的傅里叶展式 521 e.关于傅里叶展开的主要定理 523 8.5 傅里叶级数的例 527 a.预先说明 527 b.函数φ(x)=x2 的展开式 528 c.x cos x 的展开式 528 d.函数f(x)=|x| 529 e.一个分段常数函数 530 f.函数|sin x| 531 g.cos μx的展开式.余切分解为部分分式.正弦的无穷乘积 531 h.进一步的例 533 8.6 收敛性的进一步讨论 533 a.结果 533 b.贝塞尔不等式 534 *c.推论(a),(b)和(c)的证明 534 d.傅里叶系数的量阶.傅里叶级数的微分法 536 *8.7 三角多项式和有理多项式的近似法 537 a.关于函数表示法的一般说明 537 b.魏尔斯特拉斯逼近定理 537 *c.按算术平均值的傅里叶多项式的费耶三角近似式 539 *d.在平均意义下的逼近和帕塞瓦尔关系式 541 附录I 544 *A.I.1 周期区间的伸缩变换.傅里叶积分定理 544 *A.I.2 非连续点上的吉布斯现象 545 *A.I.3 傅里叶级数的积分 547 附录II 548 *A.II.1 伯努利多项式及其应用 548 a.定义及傅里叶展式 548 *b.生成函数.三角余切和双曲余切的泰勒级数 551 c.欧拉-麦克劳林求和公式 553 d.应用.渐近表达式 555 e.幂级数的和.伯努利数的递推公式 557 f.欧拉常数和斯特林级数 558 问题 560 第九章 关于振动的最简单类型的微分方程 563 9.1 力学和物理学的振动问题 563 a.简单的机械振动 563 b.电的振荡 564 9.2 齐次方程的解法.自由振动 565 a.形式解 565 b.解的诠释 567 c.满足给定的初始条件.解的唯一性 567 9.3 非齐次方程.强迫振动 569 a.一般说明.叠加法 569 b.非齐次方程的解法 570 c.共振曲线 571 d.振动的进一步讨论 573 e.关于记录仪器构造的说明 575

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