数学分析教程（下册)

《普通高等教育"十二五"规划教材:数学分析教程(下册)》是供综合性大学和师范院校数学类各专业本科一、二年级学生学习数学分析课程的一部教材，分上、中、下三册。本册为下册，讲授多元函数的数学分析理论，内容包括多元函数的极限和连续性、多元函数微分学及其应用、含参变量的积分、多元函数积分学及其应用、场论初步、微分形式和斯托克斯公式等。 《普通高等教育"十二五"规划教材:数学分析教程(下册)》对传统数学分析教材的编排做了一些与时俱进的改革，内容做了适当缩减和增补，除了如传统教材一样重视对基础知识和基本技巧的传授外，也增加了一些分析学的新内容。《普通高等教育"十二五"规划教材:数学分析教程(下册)》讲解十分清晰、浅显易懂，配有充足的例题和习题，并对数学分析各个组成部分的来龙去脉和历史发展有清楚并且引人入胜的介绍，不仅适合教师课堂讲授，也很适合学生自学使用。

第14章 多元函数的极限和连续性 1 14.1 ?^m中的点列和点集 1 14.1.1 ?^m中的运算和距离 1 14.1.2 ?^m中点列的极限 3 14.1.3 ?^m中的点集 5 14.1.4 几个重要定理 7 习题14.1 10 14.2 多元函数的概念 12 14.3 多元函数的极限 16 14.3.1 沿集合?的极限和全极限 16 14.3.2 方向极限和沿曲线的极限 21 14.3.3 累次极限 24 14.3.4 向量函数的极限 27 习题14.3 29 14.4 多元连续函数 31 14.4.1 多元函数连续性的定义与运算 31 14.4.2 多元连续函数的性质 33 习题14.4 38 第15章 多元数量函数的微分学 41 15.1 偏导数和全微分 41 15.1.1 偏导数 41 15.1.2 全微分 45 15.1.3 全微分与偏导数的关系 46 习题15.1 50 15.2 方向导数和梯度 52 15.2.1 方向导数 52 15.2.2 梯度 53 15.2.3 微分中值定理 55 习题15.2 56 15.3 复合函数的偏导数和隐函数定理 57 15.3.1 复合函数的偏导数 57 15.3.2 复合函数的全微分 60 15.3.3 隐函数的偏导数和隐函数定理 61 习题15.3 67 15.4 高阶偏导数和泰勒公式 70 15.4.1 高阶偏导数和高阶全微分 70 15.4.2 m重指标和高阶偏导数的简写记号 75 15.4.3 泰勒公式 77 习题15.4 79 15.5 微分学的几何应用 83 习题15.5 86 第16章 多元向量函数的微分学 89 16.1 线性变换与矩阵分析初步 89 16.1.1 线性变换与矩阵的代数理论 89 16.1.2 线性变换与矩阵的范数 93 16.1.3 可逆矩阵的摄动定理 97 习题16.1 99 16.2 多元向量函数的偏导数与全微分 100 习题16.2 105 16.3 隐函数定理和反函数定理 106 16.3.1 压缩映射原理 106 16.3.2 隐函数定理 107 16.3.3 反函数定理 111 16.3.4 满射定理和单射定理 112 习题16.3 114 第17章 多元函数的极值 118 17.1 简单极值问题 118 习题17.1 123 17.2 条件极值问题 125 17.2.1 求稳定点的拉格朗日乘数法 125 17.2.2 拉格朗日乘数法的几何解释 133 习题17.2 136 第18章 含参变量的积分 139 18.1 含参变量的定积分 139 习题18.1 146 18.2 含参变量的广义积分 149 18.2.1 含参量广义积分的一致收敛 149 18.2.2 含参量广义积分的性质 153 习题18.2 161 18.3 欧拉积分 164 18.3.1 伽马函数 164 18.3.2 贝塔函数 165 习题18.3 169 第19章 重积分 171 19.1 ?^m中点集的若尔当测度 171 19.1.1 若尔当测度的定义 172 19.1.2 若尔当可测的等价条件 175 19.1.3 若尔当测度的运算性质 177 习题19.1 180 19.2 重积分的定义和性质 182 19.2.1 重积分的定义 182 19.2.2 函数可积的达布准则 185 19.2.3 重积分的性质 187 习题19.2 188 19.3 重积分的计算 189 19.3.1 化重积分为累次积分 189 19.3.2 二重积分的计算 191 19.3.3 三重积分的计算 195 19.3.4 m重积分的计算 198 习题19.3 201 19.4 重积分的变元变换 204 19.4.1 变元变换的一般公式 204 19.4.2 一些常用的积分变元变换 210 19.4.3 m维球坐标变换 218 习题19.4 221 19.5 曲面的面积 224 习题19.5 229 19.6 重积分的物理应用 229 19.6.1 质心的计算 230 19.6.2 转动惯量的计算 231 19.6.3 万有引力的计算 232 习题19.6 234 第20章 曲线积分和曲面积分 235 20.1 第一型曲线积分和曲面积分 235 20.1.1 第一型曲线积分 236 20.1.2 第一型曲面积分 239 20.1.3 物理应用 242 习题20.1 244 20.2 第二型曲线积分和曲面积分 246 20.2.1 第二型曲线积分 247 20.2.2 第二型曲面积分 254 习题20.2 261 20.3 三个重要公式 265 20.3.1 格林公式 265 20.3.2 高斯公式 269 20.3.3 斯托克斯公式 273 习题20.3 276 第21章 广义重积分和含参量的重积分 279 21.1 广义重积分和含参量的重积分 279 21.1.1 广义重积分 279 21.1.2 含参变量的重积分 284 习题21.1 287 21.2 函数的磨光及其应用 290 21.2.1 函数的磨光 290 21.2.2 截断函数和单位分解定理 297 21.2.3 延拓定理 299 习题21.2 303 第22章 场论初步 305 22.1 关于场的基本概念 305 22.1.1 等值面和积分曲线 306 22.1.2 方向导数和梯度 梯度场和势函数 309 习题22.1 313 22.2 向量场的通量和散度 314 22.2.1 向量场的通量 314 22.2.2 向量场的散度 316 22.2.3 无源场及其性质 318 习题22.2 319 22.3 向量场的环量和旋度 320 22.3.1 向量场的环量 320 22.3.2 向量场的旋度 321 22.3.3 无旋场及其性质 323 习题22.3 325 22.4 一些重要定理 326 22.4.1 梯度、散度和旋度联合的一些运算公式 326 22.4.2 保守场及其等价条件 327 22.4.3 亥姆霍兹分解定理 330 习题22.4 337 22.5 平面和曲面上的向量场 338 22.5.1 平面上的向量场 338 22.5.2 曲面上的向量场 340 习题22.5 342 第23章 微分形式和斯托克斯公式 343 23.1 反对称多线性函数和外积 343 23.1.1 反对称多线性函数 343 23.1.2 外积运算 349 习题23.1 350 23.2 微分形式和外微分 351 23.2.1 微分形式 351 23.2.2 外微分运算 353 23.2.3 闭形式和恰当形式 356 习题23.2 360 23.3 微分形式的变元变换和积分 361 23.3.1 微分形式的变元变换 361 23.3.2 微分形式的积分 367 习题23.3 376 23.4 斯托克斯公式 379 23.4.1 微分流形 379 23.4.2 流形上的积分 386 23.4.3 斯托克斯公式 388 习题23.4 391 综合习题 393 参考文献 408

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