有限单元法基础

  本书针对弹性力学、热传导和结构力学线性问题，介绍实体和结构分析有限单元方法。全书共13章，主要内容包括：绪论；弹性力学和热传导基础；加权残值法和变分原理；有限单元法的基本原理；单元插值函数构造；单元映射和数值积分；弹性实体有限元分析；杆件结构力学问题；板壳结构力学问题；复合材料结构力学问题；热传导和热应力问题；动力学问题；混合型有限元公式。   本书力求细化理论公式推导过程，便于读者自学。为了便于无张量分析基础的非力学类工科专业的读者学习理解，书中公式采用矩阵表达，未涉及张量描述。除了重点讲解有限单元法的原理和方法外，习题中包括了程序设计作业，以加强对读者编程技能的培养；给出了利用有限元软件计算分析的练习题，以培养读者利用有限元方法解决实际问题的能力。本书配套了有限元建模及分析操作视频、教学课件等数字资源，以新形态教材方式出版。    本书适用于力学类、航空航天工程类、机械工程类、土木工程类等相关工科专业的本科生和研究生学习有限单元法的基本理论和方法，同时也适合从事数值仿真的工程师自学和应用参考。

前辅文 绪论 0.1微分方程数值近似解法 0.2有限元近似解法的基本思想 0.3有限单元法及其软件发展概述 0.4有限单元法在工程和科学研究中的应用 0.5本书内容概述 第1章弹性力学和热传导基础 1.1引言 1.2弹性力学基础 1.2.1应力与平衡方程 1.2.2应变与位移的关系 1.2.3弹性本构关系 1.2.4弹性力学问题场方程 1.2.5平面问题场方程 1.2.6轴对称问题场方程 1.2.7坐标系间位移、应变和应力的变换 1.2.8初应变和初应力 1.2.9应变能和应变余能 1.2.10虚位移原理和最小势能原理 1.2.11虚应力原理和最小余能原理 1.3热传导问题基本方程 1.3.1傅里叶（Fourier）定律 1.3.2热传导方程 1.3.3边界条件和初始条件 1.4小结 习题 第2章加权残值法和变分原理 2.1引言 2.2微分方程的等效积分形式及其弱形式 2.2.1微分方程的等效积分形式 2.2.2等效积分的弱形式 2.3加权残值法 2.3.1基本原理 2.3.2伽辽金（Galerkin）加权残值法 2.4变分原理和里茨（Ritz）法 2.4.1变分原理的定义 2.4.2微分方程变分原理的建立 2.4.3里茨（Ritz）法 2.5弹性力学和热传导问题的变分原理 2.5.1弹性力学场方程的等效积分弱形式 2.5.2最小势能原理 2.5.3最小余能原理 2.5.4近似解的上下界 2.5.5热传导问题变分原理 2.6弹性动力学变分原理 2.6.1达朗贝尔-拉格朗日（d′Alembert-Lagrange）原理 2.6.2哈密顿（Hamilton）变分原理 2.7约束变分原理 2.7.1拉格朗日（Lagrange）乘子法 2.7.2罚函数法 2.8弹性力学广义变分原理 2.8.1 Hellinger-Reissner广义变分原理 2.8.2胡-鹫广义变分原理 2.9小结 习题 第3章有限单元法的基本原理 3.1引言 3.2平面问题的有限元格式 3.2.1单元位移插值 3.2.2位移插值函数的性质 3.2.3单元中的应变和应力 3.2.4单元平衡方程 3.2.5刚度矩阵及其性质 3.2.6单元等效结点载荷 3.2.7系统有限元平衡方程 3.2.8位移边界条件的引入 3.2.9位移、应变和应力计算 3.2.10广义坐标有限元法 3.3有限单元法的一般格式 3.3.1二维平面问题 3.3.2轴对称问题 3.3.3三维实体问题 3.4有限元解的收敛性 3.4.1收敛准则 3.4.2收敛速度与离散误差 3.4.3位移元解的下限性 3.5线性代数方程组求解方法 3.5.1高斯（Gauss）消元法 3.5.2三角分解算法 3.5.3迭代解法 3.5.4有限元刚度矩阵在计算机中的存储方法 3.6静力问题有限元法求解过程 3.7数值算例：带中心圆孔矩形板拉伸问题 3.8小结 习题 第4章单元插值函数构造 4.1引言 4.2一维单元插值函数 4.2.1拉格朗日（Lagrange）一维单元 4.2.2埃尔米特（Hermite）一维单元 4.3二维单元插值函数 4.3.1三角形单元 4.3.2拉格朗日（Lagrange）矩形单元 4.3.3 Serendipity矩形单元 4.4三维单元插值函数 4.4.1四面体单元 4.4.2拉格朗日（Lagrange）六面体单元 4.4.3 Serendipity六面体单元 4.4.4三棱柱单元 4.5阶谱单元 4.5.1一维阶谱单元 4.5.2二维和三维阶谱单元 4.6小结 习题 第5章单元映射和数值积分 5.1引言 5.2单元映射和等参变换 5.2.1单元映射 5.2.2等参变换 5.2.3单元积分计算变换 5.3二维等参单元 5.3.1平面四边形等参单元 5.3.2平面三角形等参单元 5.4轴对称等参单元 5.4.1轴对称四边形等参单元 5.4.2轴对称三角形等参单元 5.5三维等参单元 5.5.1六面体等参单元 5.5.2四面体等参单元 5.6等参变换的条件和收敛性 5.6.1等参变换的条件 5.6.2等参单元的收敛性 5.7等参单元的退化 5.8两种特殊的映射单元 5.8.1模拟裂尖奇异性的奇异单元 5.8.2模拟无限区域的无限单元 5.9单元数值积分 5.9.1一维数值积分方法 5.9.2四边形和六面体单元积分 5.9.3三角形和四面体单元积分 5.10单元矩阵积分阶次的选择 5.10.1选择积分阶次的原则 5.10.2数值积分导致的矩阵奇异性 5.10.3剪切自锁和沙漏模式 5.11非协调单元 5.12拼片试验 5.13小结 习题 第6章弹性实体有限元分析 6.1引言 6.2弹性实体有限单元法 6.2.1平面问题 6.2.2轴对称问题 6.2.3三维问题 6.3有限元解的改进及误差估计 6.3.1误差定义 6.3.2有限元计算结果的性质 6.3.3应力精度的改进 6.3.4误差估计 6.4自适应分析方法 6.4.1自适应有限单元细化 6.4.2自适应h-细化方法 6.5特殊边界的处理 6.5.1利用罚函数法引入多点约束条件 6.5.2倾斜滚动支座 6.5.3过盈配合 6.5.4弹性支座 6.6结构强度分析 6.7有限元建模 6.7.1有限元分析过程 6.7.2模型简化处理方法 6.7.3单元选择及网格的划分 6.8小结 习题 第7章杆件结构力学问题 7.1引言 7.2轴力单元 7.3扭转单元 7.4 Euler-Bernoulli梁单元 7.4.1 Euler-Bernoulli平面梁基本理论 7.4.2 2结点Euler-Bernoulli梁单元 7.5 Timoshenko梁单元 7.5.1 Timoshenko平面梁基本理论 7.5.2在Euler-Bernoulli梁单元中引入剪应变的梁单元 7.5.3 2结点Timoshenko梁单元 7.6平面桁架结构 7.6.1结点位移坐标变换 7.6.2单元刚度矩阵坐标变换 7.6.3单元刚度矩阵及结点载荷的组集 7.6.4单元应变和应力计算 7.6.5算例：平面桁架结构 7.7三维桁架结构 7.8平面框架结构 7.8.1单元矩阵及其变换 7.8.2铰结点的处理 7.8.3单元截面应力计算 7.9三维框架结构 7.9.1单元矩阵及其变换 7.9.2单元截面应力计算 7.10杆件结构弹性稳定性分析 7.10.1梁单元的几何刚度矩阵 7.10.2杆件结构失稳临界载荷 7.11算例：受压框架强度及稳定性计算 7.12小结 习题 第8章板壳结构力学问题 8.1引言 8.2薄板单元 8.2.1薄板弯曲基本理论 8.2.2基于薄板理论的平板单元 8.3厚板单元 8.3.1厚板弯曲基本理论 8.3.2 Mindlin板单元 8.4平面壳体单元 8.4.1局部坐标系下的平面壳单元 8.4.2单元矩阵坐标变换 8.5超参数壳体单元 8.6轴对称壳单元 8.6.1轴对称壳基本公式 8.6.2基于薄壳理论的截锥壳单元 8.6.3位移和转动独立插值的轴对称壳单元 8.7薄板结构弹性稳定性分析 8.7.1板单元的几何刚度矩阵 8.7.2板结构失稳临界载荷 8.8算例：压力罐应力及稳定性计算 8.9小结 习题 第9章复合材料结构力学问题 9.1引言 9.2复合材料力学基础 9.2.1各向异性弹性本构关系 9.2.2复合材料宏观力学性能参数的确定 9.2.3单层复合材料应力-应变关系 9.2.4层合板的表达方式 9.3复合材料层合梁有限元 9.3.1平面层合梁基本理论 9.3.2复合材料层合梁单元 9.4复合材料层合板有限元 9.4.1层合板基本理论 9.4.2复合材料层合板单元 9.5复合材料有限元分析方法 9.5.1不同尺度有限元分析 9.5.2层合板壳结构分析单元 9.5.3单向层合板分析 9.5.4层合板有限元分析 9.6算例：层合板拉伸和弯曲问题 9.7小结 习题 第10章热传导和热应力问题 10.1引言 10.2二维稳态热传导有限元 10.2.1有限元格式 10.2.2四边形等参单元 10.2.3三角形等参单元 10.2.4模拟裂尖热流的奇异等参元 10.3二维瞬态热传导有限元 10.3.1有限元格式 10.3.2瞬态方程的模态叠加解法 10.3.3瞬态方程的直接积分解法 10.3.4瞬态方程解的稳定性和精度 10.4热应力有限元分析方法 10.4.1热弹性有限元方法 10.4.2一维问题热应力 10.4.3平面问题和轴对称问题热应力 10.5热力耦合有限元方法 10.6算例：热传导及热应力问题 10.7小结 习题 第11章动力学问题 11.1引言 11.2有限元动力方程 11.2.1弹性动力学基本方程 11.2.2利用Galerkin法推导有限元方程 11.2.3利用哈密顿原理推导有限元方程 11.3质量矩阵和阻尼矩阵 11.3.1一致质量矩阵 11.3.2集中质量矩阵 11.3.3阻尼矩阵 11.4系统特征值问题 11.4.1无阻尼自由振动实特征值 11.4.2特征值和特征向量的算法 11.4.3刚度矩阵奇异时的特征值和特征向量 11.4.4算例：简支梁特征值计算 11.5动力学方程振型叠加解法 11.6动力方程时间积分方法 11.6.1中心差分法 11.6.2 Newmark方法 11.7算例：波传播及梁弯曲动力响应问题 11.8小结 习题 第12章混合型有限元公式 12.1引言 12.2热传导问题的混合型公式 12.2.1混合型方程的离散化 12.2.2混合型方程解的稳定性 12.3弹性力学问题的混合型公式 12.3.1位移-应力混合型公式 12.3.2位移-应力-应变混合型公式 12.4不可压缩弹性体问题 12.4.1材料的不可压缩性 12.4.2应力和应变偏量 12.4.3位移-压力混合公式 12.4.4位移-压力-体积应变混合公式 12.5混合型方程简单迭代解法 12.6多个弹性子域之间的连接 12.7小结 习题 参考文献

严波，工学博士、重庆大学航空航天学院教授、博士生导师。中国力学学会教育工作委员会委员；国际华人计算力学协会常务理事；中国力学学会计算力学专业委员会特邀委员；重庆力学学会副理事长；《应用数学和力学》编委。研究方向：计算力学及其在工程中的应用，输电塔线体系非线性振动及其控制，工程结构及装备中的关键力学问题，工程数值模拟方法及软件开发，热力耦合数值模拟方法

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