常微分方程

《普通高等教育十一五国家级规划教材:常微分方程(第3版)》是原中山大学数学力学系常微分方程组编《常微分方程》1978年初版及l983年第二版后的新修订版。考虑到二十多年科学技术的发展，除尽量保持原书结构与易学易教的特点外，在教学时数不增加及内容可选的前提下，适当补充应用实例、非线性内容及计算机应用，包括分支、混沌、哈密顿方程、数值解等；并增加数学软件在常微分方程中应用作为附录；同时在绪论中简单介绍了常微分方程的发展历史和在数学中的地位，书后附习题答案及参考文献。 第三版重写了第一、六章，其他各章只作了少量修订。熟悉第二版的老师可仍按原计划讲授，然后再根据情况适当补充新内容。 全书主要内容有：绪论；一阶微分方程的初等解法；一阶微分方程的解的存在定理；高阶微分方程；线性微分方程组；非线性微分方程；一阶线性偏微分方程。此外还有两个附录：边值问题；数学软件在常微分方程中的应用。

第一章 绪论 1.1 常微分方程模型 1.2 基本概念和常微分方程的发展历史 1.2.1 常微分方程基本概念 1.2.2 雅可比矩阵与函数相关性 1.2.3 常微分方程的发展历史 本章学习要点 第二章 一阶微分方程的初等解法 2.1 变量分离方程与变量变换 2.1.1 变量分离方程 2.1.2 可化为变量分离方程的类型 2.1.3 应用举例 2.2 线性微分方程与常数变易法 2.3 恰当微分方程与积分因子 2.3.1 恰当微分方程 2.3.2 积分因子 2.4 一阶隐式微分方程与参数表示 2.4.1 可以解出y（或x）的方程 2.4.2 不显含y（或x）的方程 本章学习要点 第三章 一阶微分方程的解的存在定理 3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法 3.1.1 存在唯一性定理 3.1.2 近似计算和误差估计 3.2 解的延拓 3.3 解对初值的连续性和可微性定理 3.3.1 解关于初值的对称性 3.3.2 解对初值的连续依赖性 3.3.3 解对初值的可微性 3.4 奇解 3.4.1 包络和奇解 3.4.2 克莱罗微分方程 3.5 数值解 3.5.1 欧拉方法 3.5.2 龙格一库塔方法 本章学习要点 第四章 高阶微分方程 4.1 线性微分方程的一般理论 4.1.1 引言 4.1.2 齐次线性微分方程的解的性质与结构 4.1.3 非齐次线性微分方程与常数变易法 4.2 常系数线性微分方程的解法 4.2.1 复值函数与复值解 4.2.2 常系数齐次线性微分方程和欧拉方程 4.2.3 非齐次线性微分方程.比较系数法与拉普拉斯变换法 4.2.4 质点振动 4.3 高阶微分方程的降阶和幂级数解法 4.3.1 可降阶的一些方程类型 4.3.2 二阶线性微分方程的幂级数解法 4.3.3 第二宇宙速度计算 本章学习要点 第五章 线性微分方程组 5.1 存在唯一性定理 5.1.1 记号和定义 5.1.2 存在唯一性定理 5.2 线性微分方程组的一般理论 5.2.1 齐次线性微分方程组 5.2.2 非齐次线性微分方程组 5.3 常系数线性微分方程组 5.3.1 矩阵指数exp A的定义和性质 5.3.2 基解矩阵的计算公式 5.3.3 拉普拉斯变换的应用 本章学习要点 第六章 非线性微分方程 6.1 稳定性 6.1.1 常微分方程组的存在唯一性定理 6.1.2 李雅普诺夫稳定性 6.1.3 按线性近似决定稳定性 6.2 V函数方法 6.2.1 李雅普诺夫定理 6.2.2 二次型V函数的构造 6.3 奇点 6.4 极限环和平面图貌 6.4.1 极限环 6.4.2 平面图貌 6.5 分支与混沌 6.5.1 常微分方程单参数分支 6.5.2 Lorenz方程与混沌 6.6 哈密顿方程 6.6.1 完全可积性 6.6.2 KAM定理和Mel'nikov函数 6.6.3 孤立子 本章学习要点 第七章 一阶线性偏微分方程 7.1 基本概念 7.2 一阶线性偏微分方程与常微分方程组的关系 7.3 利用首次积分求解常微分方程组 7.4 一阶线性偏微分方程的解法 7.5 柯西问题 本章学习要点 附录Ⅰ 边值问题 附录Ⅱ 数学软件在常微分方程中的应用 习题答案 参考文献

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