线性代数导引

本书内容包括数、数的加法和数的乘法，以及由此延伸开来的群、环、域、多项式和向量空间。与其他线性代数的教科书不同的是立足点和理论框架的选择。本书不将任何数及其算术运算当成给定的原始概念，而是从数学基础的角度建立起它们的确切解释，并将这样的解释作为数学的一种基础，进而建立和发展线性空间的基本理论。

《现代数学基础丛书》序 序言 绪论 1 第1章 预备知识 7 1.1 逻辑基础 7 1.1.1 语句真假判定 7 1.1.2 表达式及其语义解释 12 1.2 集合论基础 21 1.2.1 属于与相等 21 1.2.2 基本存在性 25 1.2.3 函数 29 1.2.4 函数半群 32 1.2.5 置换群 34 1.2.6 等价关系 40 1.2.7 势比较 43 1.2.8 练习 44 1.3 自然数有序集合 45 1.3.1 递归定义定理 53 1.3.2 自然数有序半环 60 1.3.3 自然数数组有序加法半群 73 1.3.4 练习 82 1.4 有限集与无限集 84 1.4.1 有限集合 84 1.4.2 自然数平面之势 86 1.4.3 连续统势 87 1.4.4 练习 88 1.5 有限置换群 89 1.5.1 置换分解与置换符号 90 1.5.2 群同态与同构 101 1.5.3 置换群分类与包络定理 105 1.5.4 练习 109 第2章 整数与分数 113 2.1 整数有序环 113 2.1.1 整数及其算术运算 113 2.1.2 整数算术基本定理 122 2.1.3 循环群 131 2.1.4 练习 135 2.2 同余类环和域 136 2.3 整系数多项式环 142 2.3.1 单变元项及单变元多项式函数 143 2.3.2 函数环 150 2.3.3 多变元项及多元多项式函数 151 2.3.4 练习 155 2.4 有理数有序域 155 2.4.1 有理数及其算术运算 155 2.4.2 有理数序特征 163 2.4.3 素数开方问题 167 2.4.4 练习 168 2.5 有理平面有序域 170 2.5.1 线性结构 171 2.5.2 正方根乘法 190 2.5.3 练习 197 2.6 有理系数多项式环 199 2.6.1 有理数值函数环 200 2.6.2 单变元项与单变元多项式函数 202 2.6.3 n-变元项及其n-元多项式函数解释 204 2.6.4 分式域 208 2.7 练习 211 第3章 实数与复数 214 3.1 实数 214 3.1.1 实数及其序 214 3.1.2 实数代数运算 216 3.2 实数结构代数特性 225 3.2.1 实系数多项式环 225 3.2.2 实线性函数 233 3.2.3 实数结构基本代数特性 234 3.2.4 练习 239 3.3 实平面 R2 241 3.3.1 线性运算 242 3.3.2 实线性函数 247 3.3.3 度量 248 3.3.4 可构造数域K 250 3.3.5 练习 258 3.4 方阵空间M2(R) 258 3.4.1 二维实线性映射 258 3.4.2 线性空间M2(R) 260 3.4.3 二阶行列式 265 3.4.4 线性单射与满射 268 3.4.5 四元数体 273 3.4.6 练习 280 3.5 复数 281 3.5.1 复数集合及其代数运算 281 3.5.2 复系数多项式环 287 3.5.3 复数域代数封闭性 294 3.6 练习 297 第4章 多项式整环 299 4.1 序列多项式环 299 4.2 多变元多项式 308 4.2.1 序列多元多项式环 308 4.2.2 多元对称函数子环和对称多项式子环 315 4.3 因式分解 320 4.3.1 因式 321 4.3.2 因式分解**性 326 4.4 多项式不可约性 334 4.4.1 有理系数不可约多项式 334 4.4.2 根与线性因子 340 4.4.3 实系数和复系数不可约多项式 349 4.4.4 根与系数的关系 354 4.4.5 练习 365 第5章 M3(R)与M34(R) 368 5.1 矩阵空间M3(R) 368 5.1.1 线性运算 369 5.1.2 矩阵乘法 370 5.1.3 三元实线性方程组 374 5.1.4 三阶行列式 396 5.2 R3 407 5.2.1 线性运算 407 5.2.2 线性独立性 409 5.2.3 度量 412 5.2.4 叉积 414 5.2.5 三元实线性函数与实线性算子 418 5.2.6 练习 421 5.2.7 附录：行列式几何解释 423 第6章 矩阵空间Mmn(F) 431 6.1 矩阵与向量 431 6.1.1 线性运算 432 6.1.2 矩阵乘法 434 6.2 线性方程组 437 6.3 线性空间Fn 444 6.4 矩阵与线性映射 455 6.5 行列式函数 486 6.6 练习 522 第7章 线性空间与线性映射 533 7.1 线性空间 533 7.1.1 线性子空间 534 7.1.2 直和分解 541 7.2 线性同构与自同构 549 7.2.1 坐标映射 550 7.2.2 自同构 552 7.2.3 练习 555 7.3 线性映射 561 7.4 线性函数 572 7.4.1 对偶空间L1(Fn，F) 574 7.4.2 对偶空间L1(V，F) 576 7.4.3 练习 588 7.5 线性算子 590 7.5.1 算子代数 590 7.5.2 可逆线性算子 595 7.5.3 相似性 597 7.5.4 标准计算矩阵 601 7.5.5 李代数简介 655 7.5.6 练习 656 第8章 多重线性函数 664 8.1 双线性函数 664 8.1.1 对称双线性函数与二次型 672 8.1.2 二次型标准化方法 681 8.1.3 实二次型 686 8.1.4 斜对称双线性型 697 8.1.5 练习 705 8.2 Rn上的共变张量 713 8.3 抽象张量 719 8.3.1 张量与张量空间 720 8.3.2 张量积 723 8.3.3 张量代数 740 8.3.4 斜对称张量外积代数 742 8.3.5 练习 760 第9章 内积空间 763 9.1 实欧几里得空间 763 9.1.1 实对称正定双线性型 763 9.1.2 实度量 765 9.1.3 正交性 767 9.1.4 练习 784 9.2 复内积空间 788 9.2.1 埃尔米特型 788 9.2.2 复度量 791 9.2.3 正交性 791 9.3 内积空间算子理论 793 9.3.1 线性算子与共轭线性函数 794 9.3.2 自伴算子 797 9.3.3 保距算子 799 9.3.4 规范算子 805 9.3.5 练习 815 第10章 几何向量空间 820 10.1 仿射空间 820 10.2 练习 838 10.3 欧几里得空间 840 10.4 练习 861 10.5 射影空间 863 10.6 练习 866 10.7 罗巴切夫斯基空间 867 10.8 闵可夫斯基空间 870 参考文献 876 索引 877 《现代数学基础丛书》已出版书目 883

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