线性代数及其应用

本书全面覆盖线性方程组、矩阵、向量空间、博弈论和数值分析等内容, 理论和应用相结合. 尤其介绍了凸集、对偶定理、赋范[线性]空间、赋范[线性]空间之间的线性映射以及自伴随矩阵本征值的计算等一般教材上没有的内容. 为方便读者学习, 每章都有练习, 并提供解答. 书后还有辛矩阵、洛伦兹群、数值域等16个附录. 本书是一本可供高年级本科生和研究生使用的优秀教材, 同时也是数学教师和相关研究人员的一本很好的参考书.

第1章 预备知识 线性空间和同构 子空间 线性相关 基和维数 商空间 第2章 对偶 线性函数 线性空间的对偶 零化子 余维数 求积公式 第3章 线性空间 域空间与目标空间 零空间与值域 基本定理 线性方程亚定组 插值 差分方程 线性映射的代数 转置 零空间与值域的维数 相似 投射 第4章 矩阵 行和列 矩阵乘法 转置 秩 高斯消元法 第5章 行列式和迹 有序单形 带符号的体积 置换群 行列式公式 乘法性质 拉普拉斯展开 克拉默法则 迹 第6章 谱理论 线性映射的迭代 本征值与本征向量 斐波那契序列 本征多项式 再谈迹与行列式 谱映射定理 凯莱-哈密顿定理 广义本征向量 谱定理 极小多项式 矩阵何时相似？ 交换映射 第7章 欧几里得结构 标量积与距离 施瓦茨不等式 标准正交基 格拉姆-施密特方法 正交补 正交投影 伴随 超定方程组 等距映射 正交群 线性映射的范数 完备性与局部紧致性 复欧几里得空间 谱半径 希尔伯特-施密特范数 向量积 第8章 欧几里得空间自伴随映射的谱理论 二次型 惯性律 谱分解 交换映射 反自伴随映射 正规映射 瑞利商 最小最大原理 范数和本征值 第9章 向量值函数、矩阵值函数的微积分学 依范数收敛 求导法则 det A($t$)的导数 矩阵幂 单本征值 多重本征值 雷利希定理 错开交叉 第10章 矩阵不等式 正定的自伴随矩阵 单调矩阵函数 格拉姆矩阵 舒尔定理 正定矩阵的行列式 行列式积分公式 本征值 分隔本征值 维兰德-霍夫曼定理 最小、最大本征值 自伴随部分正定的矩阵 极分解 奇异值 奇异值分解 第11章 运动学与动力学 旋转轴、转角 刚体运动 角速度向量 流体运动 旋度与散度 小幅振动 能量守恒 简正振型与固有频率 第12章 凸集 凸集 度规函数 哈恩-巴拿赫定理 支撑函数 卡拉泰奥多里定理 寇尼希-伯克霍夫定理 黑利定理 第13章 对偶定理 法卡斯-闵可夫斯基定理 对偶定理 经济学上的解释 最小最大定理 第14章 赋范线性空间 范数 lp范数 范数的等价性 完备性 局部紧致性 里斯定理 对偶范数 向量到子空间的距离 赋范商空间 复赋范线性空间 复哈恩-巴拿赫定理 欧几里得空间的特征 第15章 赋范线性空间之间的线性映射 线性映射的范数 转置映射的范数 映射的赋范代数 可逆映射 谱半径 第16章 正矩阵 佩龙定理 随机矩阵 弗罗贝尼乌斯定理 第17章 怎样解线性方程组 历史回顾 条件数 迭代法 最速下降法 基于切比雪夫多项式的迭代法 基于切比雪夫多项式的三项迭代法 优化的三项递推法 收敛速度 第18章 如何计算自伴随矩阵的本征值 QR分解 利用QR分解求解方程组 求本征值的QR算法 基于豪斯霍尔德反射的QR分解 三对角矩阵 模拟QR算法的托达流 默泽尔定理 更一般的流 部分练习答案 参考文献 附录1 特殊行列式 附录2 普法夫多项式 附录3 辛矩阵 附录4 张量积 附录5 格 附录6 快速矩阵乘法 附录7 格希高瑞定理 附录8 本征值的重数 附录9 快速傅里叶变换 附录10 谱半径 附录11 洛伦兹群 附录12 单位球的紧致性 附录13 换位子的特征 附录14 李亚普诺夫定理 附录15 若当标准形 附录16 数值域 索引

Peter D. Lax 当代最杰出的数学家之一，世界数学界最高荣誉阿贝尔奖（2005年）和沃尔夫奖（1987年）得主。他是美国科学院院士，并于1986年荣获美国国家科技 奖章。Lax生于匈牙利，自1958年开始就一直在美国纽约大学从事教学与研究工作，曾担任柯朗数学研究所所长。他在纯数学与应用数学的诸多领域都有卓越 的建树，影响深远。同时，他一生致力于数学教育，独立撰写或与他人合著教材20多部，阿贝尔奖颁奖辞如此评价他：“他的著作、他对教育事业付出的毕生心血 以及他在培养年轻一代数学家时体现出的孜孜不倦的精神，在世界数学领域留下了不可磨灭的影响。

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