微积分及其应用（原书修订版）

本书是美国著名数学家 Peter Lax 与康奈尔大学数学教授 Maria Terrell 合著的单变量微积分教材，内容覆盖了一元微积分的基础，包括：数列的极限、函数的连续性、函数的微分、可微函数的基本理论、导数的应用、函数的积分、积分的方法、积分的近似计算，以及微分方程。另有两章介绍复数与概率 。本书通过引入许多背景自然的应用实例，致力于引导读者对微积分这一重要的基础课题获得理解。本书末尾还提供了部分习题的答案。

序言 第1章 数和极限 1 1.1 不等式 1 1.1.1 不等式的法则 3 1.1.2 三角不等式 3 1.1.3 算术-几何平均值不等式 4 问题 7 1.2 实数和最小上界定理 10 1.2.1 实数作为无限小数 10 1.2.2 最小上界定理 12 1.2.3 舍入 14 问题 16 1.3 数列及其极限 17 1.3.1 的近似 20 1.3.2 数列与级数 21 1.3.3 区间套 32 1.3.4 柯西数列 33 问题 35 1.4 数字e 39 问题 42 第2章 函数及其连续性 45 2.1 函数的概念 45 2.1.1 有界函数 48 2.1.2 函数的运算 49 问题 51 2.2 连续性 52 2.2.1 用极限定义函数在一点处的连续性 54 2.2.2 区间上的连续性 57 2.2.3 介值定理与最值定理 58 问题 61 2.3 函数的复合及逆 63 2.3.1 反函数 66 问题 70 2.4 正弦与余弦 71 问题 74 2.5 指数函数 75 2.5.1 放射性衰变 76 2.5.2 细菌繁殖 76 2.5.3 代数定义 77 2.5.4 指数型增长 78 2.5.5 对数 80 问题 84 2.6 函数列及其极限 85 2.6.1 函数列 85 2.6.2 函数项级数 92 2.6.3 函数与 96 问题 101 第3章 导数和微分 105 3.1 导数的概念 105 3.1.1 几何意义 107 3.1.2 可导与连续 110 3.1.3 导数的应用 112 问题 117 3.2 求导法则 119 3.2.1 和、积与商的导数 120 3.2.2 复合函数的导数 124 3.2.3 高阶导数及记号 127 问题 128 3.3 函数ex和lnx的导数 132 3.3.1 函数ex的导数 132 3.3.2 函数lnx的导数 133 3.3.3 幂函数的导数 135 3.3.4 微分方程y'= ky 135 问题 136 3.4 三角函数的导数 138 3.4.1 正弦和余弦函数的导数 138 3.4.2 微分方程y"+y=0 140 3.4.3 反三角函数的导数 142 3.4.4 微分方程y"-y=0 144 问题 146 3.4.5 幂级数的导数 148 问题 151 第4章 可导函数的理论 153 4.1 中值定理 153 4.1.1 一阶导数用于最优化 156 4.1.2 利用微分证明不等式 160 4.1.3 推广的中值定理 162 问题 163 4.2 高阶导数 166 4.2.1 二阶导数检验 170 4.2.2 凸函数 171 问题 173 4.3 泰勒定理 175 4.3.1 泰勒级数的例子 180 问题 185 4.4 逼近导数 186 问题 191 第5章 导数的应用 194 5.1 气压 194 问题 196 5.2 运动定律 196 问题 201 5.3 求函数零点的牛顿法 201 5.3.1 平方根的逼近 203 5.3.2 多项式根的逼近 204 5.3.3 牛顿法的收敛性 206 问题 209 5.4 光的反射和折射 210 问题 215 5.5 数学与经济学 216 问题 219 第6章 积分 221 6.1 积分的例子 221 6.1.1 从速度表确定路程 221 6.1.2 细棒的质量 223 6.1.3 正函数下方图的面积 225 6.1.4 负函数和净总值 227 问题 228 6.2 积分 229 6.2.1 积分的近似 231 6.2.2 积分的存在性 235 6.2.3 积分的进一步的性质 238 问题 241 6.3 微积分基本定理 243 问题 251 6.4 积分的应用 253 6.4.1 体积 253 6.4.2 累积量 255 6.4.3 弧长 256 6.4.4 功 257 问题 259 第7章 积分方法 260 7.1 分部积分 260 7.1.1 带积分形式余项的泰勒公式 264 7.1.2 优化数值近似 266 7.1.3 微分方程的应用 267 7.1.4 π的Wallis乘积公式 267 问题 269 7.2 换元法 271 问题 276 7.3 广义积分 277 问题 290 7.4 积分的其他性质 292 7.4.1 函数列的积分 292 7.4.2 含参变量的积分 295 问题 297 第8章 积分的近似数值计算 298 8.1 近似积分 298 8.1.1 中点法则 300 8.1.2 梯形法则 301 问题 302 8.2 辛普森法则 304 8.2.1 辛普森法则的替代方法 307 问题 309 第9章 复数 310 9.1 复数 310 9.1.1 复数的运算 311 9.1.2 复数的几何 315 问题 320 9.2 复值函数 323 9.2.1 连续性 323 9.2.2 导数 324 9.2.3 复值函数的积分 325 9.2.4 复变量的函数 326 9.2.5 复指数函数 329 问题 332 第10章 微分方程 334 10.1 用微积分描述振动 334 10.1.1 力学系统的振动 334 10.1.2 耗散和能量守恒 338 10.1.3 没有摩擦力时的振动 339 10.1.4 没有摩擦力的线性振动 342 10.1.5 带摩擦力的线性振动 344 10.1.6 外力驱动的线性系统 348 问题 352 10.2 种群动力学 355 10.2.1 微分方程 355 10.2.2 人口增长与涨落 361 10.2.3 两个物种 365 问题 373 10.3 化学反应 374 问题 381 10.4 微分方程的数值求解 382 问题 386 第11章 概率 387 11.1 离散概率 387 问题 396 11.2 信息论：感兴趣的事有多有趣? 397 问题 400 11.3 连续概率 401 问题 409 11.4 误差律 411 问题 419 部分问题的答案 421 术语对照表 448 译后记 454 《现代数学译丛》已出版书目 456

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