数学分析习题课讲义（第2版）（下册）

《数学分析习题课讲义(下册)》是教育部“国家理科基地创建名牌课程项目”的研究成果，其目的是为数学分析的习题课教学提供一套具有创新特色的教材和参考书。 《数学分析习题课讲义(下册)》以编著者们近20年来在数学分析及其习题课方面的教学经验为基础，吸取了国内外多种教材和研究性论著中的大量成果，非常注意经典教学内容中的思想、方法和技巧的开拓和延伸，在例题的讲解中强调启发式和逐步深入，在习题的选取中致力于对传统内容的更新、补充与层次化。本次修订对第1版的基本框架(指章、节和小结)和主要内容(指命题、例题、练习题和参考题)基本上不做改动，但对书中的一些证明、解法和注释做了多出改进;对部分较难的参考题的提示做了改写。 《数学分析习题课讲义》分上下两册出版。上册内容为极限理论和一元微积分，下册内容为无穷级数和多元微积分。 《数学分析习题课讲义(下册)》可作为高等院校理工科教师和学生在数学分析习题课方面的教材或参考书，也可以作为研究生入学考试和其他人员的数学分析辅导书。

第十三章 数项级数 1 §13.1 无穷级数的基本概念 1 13.1.1 无穷级数的多种视角 1 13.1.2 思考题 5 §13.2 正项级数 6 13.2.1 比较判别法的一般形式 6 13.2.2 比较判别法的特殊形式 7 13.2.3 其他判别法 9 13.2.4 例题 13 13.2.5 练习题 17 §13.3 一般项级数 19 13.3.1 一般项级数的敛散性判别法 20 13.3.2 一般项级数的基本性质 21 13.3.3 例题 23 13.3.4 练习题 26 §13.4 无穷乘积 28 13.4.1 基本内容 28 13.4.2 例题 29 13.4.3 练习题 34 §13.5 对于教学的建议 35 13.5.1 学习要点 35 13.5.2 参考题 36 第一组参考题 36 第二组参考题 38 第十四章 函数项级数与幂级数 40 §14.1 一致收敛性及其判别法 40 14.1.1 基本内容 40 14.1.2 例题 43 14.1.3 练习题 48 §14.2 和函数与极限函数的性质 49 14.2.1 三分法与极限顺序交换原理 49 14.2.2 例题 51 14.2.3 准一致收敛与控制收敛定理 53 14.2.4 练习题 58 §14.3 幂级数的收敛域与和函数 58 14.3.1 幂级数的基本理论 58 14.3.2 思考题 59 14.3.3 例题 60 14.3.4 练习题 63 §14.4 函数的幂级数展开 65 14.4.1 Taylor级数与函数的幂级数展开式 65 14.4.2 将函数展开为幂级数的基本方法 68 14.4.3 例题 70 14.4.4 练习题 73 §14.5 对于教学的建议 74 14.5.1 学习要点 74 14.5.2 参考题 75 第一组参考题 75 第二组参考题 76 第十五章 Fourier级数 79 §15.1 Fourier系数 79 15.1.1 Fourier系数的计算公式 79 15.1.2 Fourier系数的渐进性质 81 15.1.3 Fourier系数的几何意义 82 15.1.4 例题 84 15.1.5 练习题 85 §15.2 Fourier级数的收敛性 87 15.2.1 Dirichlet核和点收敛性 87 15.2.2 Gibbs现象 89 15.2.3 Fourier级数的Cesàro求和 91 15.2.4 Fourier级数的平方平均收敛 94 15.2.5 Fourier级数的一直收敛性 95 15.2.6 例题 98 15.2.7 练习题 101 §15.3 对于教学的建议 102 15.3.1 学习要点 102 15.3.2 参考题 103 第十六章 无穷级数的应用 106 §16.1 积分计算 106 16.1.1 关于逐项积分的补充命题 106 16.1.2 例题 107 16.1.3 练习题 111 §16.2 级数求和计算 111 16.2.1 级数求和法 111 16.2.2 例题 112 16.2.3 练习题 118 §16.3 连续函数的逼近定理 119 16.3.1 核函数方法 120 16.3.2 Bernstein证明的概率解释 123 16.3.3 逼近定理的一个初等证明 125 16.3.4 逼近定理的其他证明 127 16.3.5 逼近定理的应用举例 128 16.3.6 练习题 130 §16.4 用级数构造函数 131 16.4.1 处处连续处处不可微的函数 131 16.4.2 填满正方形的连续曲线 133 §16.5 对于教学的建议 134 16.5.1 学习要点 134 16.5.2 参考题 134 第十七章 高维空间中的点集与基本定理 137 §17.1 点与点集的定义及其基本性质 137 17.1.1 点的分类及其性质 137 17.1.2 集合的分类及其性质 138 17.1.3 思考题 140 17.1.4 练习题 141 §17.2 퐑^n中的几个基本定理 141 17.2.1 综述 141 17.2.2 例题 142 17.2.3 练习题 144 §17.3 对于教学的建议 145 17.3.1 学习要点 145 17.3.2 参考题 146 第一组参考题 146 第二组参考题 146 第十八章 多元函数的极限与连续 147 §18.1 多元函数的极限 147 18.1.1 重极限 147 18.1.2 累次极限 150 18.1.3 证明函数的重极限不存在的常用方法 150 18.1.4 思考题 151 18.1.5 关于累次极限换序 151 18.1.6 练习题 152 §18.2 多元函数的连续性 153 18.2.1 定义与基本性质 153 18.2.2 紧集上多元函数的性质 158 18.2.3 多元连续函数的介值定理 160 18.2.4 向量值函数 160 18.2.5 练习题 161 §18.3 对于教学的建议 162 18.3.1 学习要点 162 18.3.2 参考题 163 第一组参考题 163 第二组参考题 164 第十九章 偏导数与全微分 167 §19.1 偏导数 167 19.1.1 偏导数的定义 167 19.1.2 偏导数与连续 168 19.1.3 高阶偏导数 168 §19.2 全微分 171 19.2.1 全微分的定义与基本性质 171 19.2.2 多元函数的连续性、偏导数存在性及可微性之间的关系 172 19.2.3 思考题 174 19.2.4 练习题 174 §19.3 复合函数求导（链式法则） 175 19.3.1 复合函数偏导数的链式法则 175 19.3.2 例题 176 19.3.3 齐次函数 180 19.3.4 练习题 181 §19.4 向量值函数的微分学定理 182 19.4.1 无穷小增量公式与拟微分平均值定理 182 19.4.2 练习题 184 §19.5 对于教学的建议 184 19.5.1 学习要点 184 19.5.2 参考题 186 第二十章 隐函数存在定理与隐函数求导 188 §20.1 一个方程的情形 188 20.1.1 隐函数存在定理 188 20.1.2 隐函数求导 190 20.1.3 思考题 191 20.1.4 练习题 191 §20.2 隐函数组 192 20.2.1 存在定理 192 20.2.2 思考题 193 20.2.3 求已知函数族所确定的隐函数组的导数 194 20.2.4 存在定理的证明 196 20.2.5 练习题 197 §20.3 变量代换问题 198 20.3.1 仅变换自变量的情形 198 20.3.2 自变量与因变量同时变换的情形 199 20.3.3 练习题 201 §20.4 隐函数及隐函数组的整体存在性 202 §20.5 对于教学的建议 203 20.5.1 学习要点 203 20.5.2 参考题 205 第一组参考题 205 第二组参考题 207 第二十一章 偏导数的应用 209 §21.1 偏导数在几何上的应用 209 21.1.1 曲线的切向量、切线与法平面 209 21.1.2 曲面的法向量、法线与切平面 210 21.1.3 曲线的夹角、曲面的夹角 211 21.1.4 练习题 212 §21.2 方向导数与梯度 212 21.2.1 方向导数 212 21.2.2 梯度 213 21.2.3 练习题 214 §21.3 Taylor公式与极值问题 215 21.3.1 Taylor公式 215 21.3.2 极值问题 218 21.3.3 最大最小值问题 219 21.3.4 练习题 223 §21.4 条件极值与条件最值 224 21.4.1 条件极值 224 21.4.2 条件最值 227 21.4.3 隐函数的极值 231 21.4.4 练习题 232 §21.5 高维Rolle定理 233 §21.6 对于教学的建议 235 21.6.1 学习要点 235 21.6.2 参考题 235 第二十二章 重积分 239 §22.1 二重积分的概念 239 22.1.1 二重积分的定义 239 22.1.2 可积函数类 240 22.1.3 思考题 242 22.1.4 练习题 242 §22.2 二重积分的计算 243 22.2.1 矩形区域上的二重积分 243 22.2.2 一般区域上的二重积分 245 22.2.3 二重积分的变量替换 247 22.2.4 练习题 250 §22.3 三重积分,n重积分 251 22.3.1 三重积分在直角坐标系中的计算 251 22.3.2 三重积分的变量替换 253 22.3.3 例题 254 22.3.4 n重积分 256 22.3.5 练习题 256 §22.4 广义重积分 258 22.4.1 广义重积分的定义 258 22.4.2 收敛性判别法 259 22.4.3 例题 260 22.4.4 练习题 261 §22.5 重积分的应用举例 262 22.5.1 几何应用 262 22.5.2 物理应用 266 22.5.3 重积分与不等式 268 22.5.4 练习题 272 §22.6 对于教学的建议 273 22.6.1 学习要点 273 22.6.2 参考题 275 第一组参考题 275 第二组参考题 277 第二十三章 含参变量积分 279 §23.1 含参变量常义积分 279 23.1.1 定义与性质 279 23.1.2 几种常用的求参变量积分的方法 281 23.1.3 练习题 285 §23.2 含参变量广义积分 285 23.2.1 一致收敛性 285 23.2.2 例题 287 23.2.3 练习题 289 23.2.4 主要性质 290 23.2.5 例题 291 23.2.6 练习题 295 §23.3 Β函数与Γ函数 296 23.3.1 Β函数 296 23.3.2 Γ函数 297 23.3.3 例题 298 23.3.4 Γ函数的特征刻画和几个重要公式的证明 301 23.3.5 练习题 304 §23.4 对于教学的建议 305 23.4.1 学习要点 305 23.4.2 参考题 306 第二十四章 曲线积分 309 §24.1 第一型曲线积分 309 24.1.1 第一型曲线积分的定义与计算 309 24.1.2 第一型曲线积分的应用 311 24.1.3 练习题 312 §24.2 第二型曲线积分 313 24.2.1 第二型曲线积分的定义和计算 313 24.2.2 两类曲线积分的关系 315 24.2.3 第二型曲线积分的应用 316 24.2.4 练习题 317 §24.3 Green公式 318 24.3.1 Green公式 318 24.3.2 平面曲线积分与路径无关的条件 322 24.3.3 练习题 324 24.3.4 等周定理 325 §24.4 连续向量场的旋转度 327 §24.5 对于教学的建议 331 24.5.1 学习要点 331 24.5.2 参考题 333 第一组参考题 333 第二组参考题 334 第二十五章 曲面积分 336 §25.1 第一型曲面积分 336 25.1.1 第一型曲面积分的定义和计算 336 25.1.2 第一型曲面积分的应用 338 25.1.3 练习 339 §25.2 第二型曲面积分 340 25.2.1 第二型曲面积分的定义和计算 340 25.2.2 两类曲面积分之间的关系 344 25.2.3 练习题 346 §25.3 Gauss公式与Stokes公式 347 25.3.1 Gauss公式 347 25.3.2 练习题 351 25.3.3 Stokes公式 352 25.3.4 练习题 354 25.3.5 퐑^3中曲线积分与路径无关的条件 355 25.3.6 练习题 357 §25.4 向量的外积,微分形式的外微分与一般的Stokes公式 357 25.4.1 向量的外积 357 25.4.2 微分形式 358 25.4.3 微分形式的外积 359 25.4.4 微分形式的外微分 361 25.4.5 变换与Jacobi行列式 362 25.4.6 重积分的变量代换 363 25.4.7 一般的Stokes公式 363 §25.5 对于教学的建议 364 25.5.1 习题课教案一例 364 25.5.2 学习要点 368 25.5.3 参考题 369 第二十六章 场论初步 371 §26.1 散度和旋度 371 26.1.1 散度 371 26.1.2 旋度 372 26.1.3 Hamilton算子▽ 374 26.1.4 几种常用的场 376 26.1.5 练习题 377 §26.2 Laplace算子与调和函数 377 26.2.1 Laplace算子 377 26.2.2 调和函数 379 26.2.3 Poisson积分公式 381 26.2.4 练习题 382 §26.3 对于教学的建议 383 26.3.1 学习要点 383 26.3.2 参考题 384 第一组参考题 384 第二组参考题 385 参考题提示 386 参考文献 400 中文名词索引 402 英文名词索引 407

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  来源：豆瓣 发布时间：2025-05-01 15:21:38