高等代数

从《高等代数(第3版)》的前身《高等代数讲义》(1964年由高等教育出版社出版)算起，它已问世近40年了。国内广大读者从它得益，也对它肯定。《高等代数(第3版)》又是从我们的师长段学复教授、聂灵沼教授、丁石孙教授继承下来的，我们感到它有着历史的纪念意义。因此在修订时力求保持它原来的框架和原来的风格。 这次修订有如下几点： (1)文字上的推敲，特别是一些名词，如“映上”、“1-1”等均用现代流行的“满射”、“单射”来替代。 (2)删去广义逆及代数基本概念两部分内容。我们发现两者都不必作为基础课内容。特别是后者，现在数学专业专科也要开设抽象代数或近世代数课程，它就更不必要在基础课中占据课时了。 (3)增加了矩阵的有理标准形，辛空间两节和附录二“整数的可除性理论”。 增添了若尔当标准形的存在性的一个“几何”证明。 (4)用(*)注出了一些选学内容。根据学时和需要，教师可自行决定选择其中哪些内容。

第一章 多项式 1 1 数域 1 2 一元多项式 3 3 整除的概念 8 4 最大公因式 12 5 因式分解定理 18 6 重因式 22 7 多项式函数 24 8 复系数与实系数多项式的因式分解 26 9 有理系数多项式 29 10 多元多项式 34 11 对称多项式 39 习题 44 第二章 行列式 50 1 引言 50 2 排列 52 3 n级行列式 55 4 n级行列式的性质 61 5 行列式的计算 68 6 行列式按一行(列)展开 74 7 克拉默(Gramer)法则 83 8 拉普拉斯(Laplace)定理·行列式的乘法规则 89 习题 96 第三章 线性方程组 105 1 消元法 105 2 n维向量空间 113 3 线性相关性 117 4 矩阵的秩 127 5 线性方程组有解判别定理 136 6 线性方程组解的结构 140 7 二元高次方程组 148 习题 154 第四章 矩阵 162 1 矩阵概念的一些背景 162 2 矩阵的运算 164 3 矩阵乘积的行列式与秩 175 4 矩阵的逆 177 5 矩阵的分块 181 6 初等矩阵 187 7 分块乘法的初等变换及应用举例 193 习题 197 第五章 二次型 205 1 二次型及其矩阵表示 205 2 标准形 210 3 唯一性 220 4 正定二次型 226 习题 232 第六章 线性空间 237 1 集合·映射 237 2 线性空间的定义与简单性质 242 3 维数·基与坐标 246 4 基变换与坐标变换 250 5 线性子空间 253 6 子空间的交与和 257 7 子空间的直和 262 8 线性空间的同构 264 习题 267 第七章 线性变换 273 1 线性变换的定义 273 2 线性变换的运算 275 3 线性变换的矩阵 281 4 特征值与特征向量 290 5 对角矩阵 299 6 线性变换的值域与核 302 7 不变子空间 306 8 若尔当(Jordan)标准形介绍 311 9 最小多项式 317 习题 320 第八章 λ-矩阵 328 1 λ-矩阵 328 2 λ-矩阵在初等变换下的标准形 329 3 不变因子 335 4 矩阵相似的条件 339 5 初等因子 342 6 若尔当(Jordan)标准形的理论推导 346 7 矩阵的有理标准形 352 习题 355 第九章 欧几里得空间 359 1 定义与基本性质 359 2 标准正交基 365 3 同构 371 4 正交变换 372 5 子空间 375 6 实对称矩阵的标准形 377 7 向量到子空间的距离最小二乘法 386 8 酉空间介绍 390 习题 393 第十章 双线性函数与辛空间 399 1 线性函数 399 2 对偶空间 401 3 双线性函数 406 4 辛空间 415 习题 420 附录一 关于连加号“∑” 425 附录二 整数的可除性理论 428

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