数论基础

本教材是为了满足当代初等数论课程教学需求而编写的。 全书共包含八章和一个附录，主要内容包括整除、最大公因子、素因子分解、同余、剩余类与剩余系、同余方程、剩余类单位群、原根与指标、二次剩余、二次互反律、算术函数、连分数、Pell方程、二元二次型等，附录则对本书所用到的代数学知识做一些必要的补充。 整数的可除性理论乃数论的基础，其核心内容为最大公因子理论和算术基本定理。本书第一章以带余除法为出发点建立整数的可除性理论，并利用辗转相除法建立最大公因子理论。 同余理论是数论的核心，也是数论所特有的思想和方法。本书第二、三、四、五章深入讨论同余的基本性质、重要定理及其应用，介绍Euler定理与Fermat小定理，利用中国剩余定理与Hensel引理研究同余方程的约化理论以及剩余类单位群的结构，引入Legendre符号和Jacobi符号以及Gauss二次互反律给出判定二次同余方程有解的一个有效算法。除了同余理论外，本书还涵盖了算术函数、连分数、二元二次型等专题。第六章简要介绍算术函数的基础知识，并给出一些重要算术函数的均值估计。第七章深入探讨连分数的性质及其在Pell方程中的应用。第八章则是对二元二次型理论的介绍，包括二次型的约化理论、复合律以及Gauss亏格理论等。 本书可作为数学类专业、特别是数学拔尖人才培养的初等数论课程教材或参考书，也可直接作为拓展性较强的初等数论课程教材。

前辅文 凡例 第一章 整数的可除性 1.1 带余除法 1.1.1 带余除法 1.1.2 整除 1.2 最大公因子与最小公倍数 1.2.1 最大公因子 1.2.2 辗转相除法 1.2.3 Bézout定理 1.2.4 互素 1.2.5 最小公倍数 1.3 一次不定方程 1.4 素数 1.4.1 素数的基本性质 1.4.2 算术基本定理 1.4.3 Eratosthenes筛法 1.4.4 素数分布 习题 第二章 同余 2.1 同余的定义和性质 2.2 剩余类与完全剩余系 2.2.1 剩余类 2.2.2 完全剩余系 2.3 Euler函数与既约剩余系 2.3.1 同余逆 2.3.2 既约剩余类 2.4 Euler定理、Fermat小定理 习题 第三章 同余方程 3.1 同余方程的概念和术语 3.1.1 同余方程 3.1.2 同余方程组 3.2 一元线性同余方程组 3.2.1 一元线性同余方程 3.2.2 中国剩余定理 3.3 高次同余方程 3.3.1 从模为一般整数到模为素数幂的约化 3.3.2 从模为素数幂到模为素数的约化 3.3.3 素数模的同余方程 习题 第四章 单位群(Z/mZ)× 4.1 (Z/mZ)×中元素的阶 4.1.1 阶的定义与基本性质 4.1.2 阶的计算 4.2 (Z/mZ)×的结构 4.2.1 (Z/pZ)×的结构 4.2.2 (Z/pαZ)×的结构 4.2.3 (Z/2αZ)×的结构 4.2.4 (Z/mZ)×的结构 4.3 原根与指标 4.3.1 原根 4.3.2 原根的计算 4.3.3 指标 4.3.4 二项式同余方程 习题 第五章 二次剩余 5.1 二次剩余的约化 5.1.1 模m的k次剩余 5.1.2 模2α的二次剩余 5.1.3 模奇素数幂pα的二次剩余 5.2 Legendre符号 5.2.1 Legendre符号 5.2.2 Gauss引理 5.3 二次互反律 5.3.1 Gauss和 5.3.2 二次互反律的证明 5.3.3 Jacobi符号 5.4 一元二次同余方程 习题 第六章 算术函数 6.1 算术函数环 6.1.1 算术函数的加法和乘法 6.1.2 积性函数 6.2 Möbius函数 6.2.1 Möbius函数 6.2.2 Möbius变换 6.2.3 无平方因子的正整数之密度 6.3 Dirichlet函数d(n)和σ(n) 6.3.1 d(n)和σ(n)的基本性质 6.3.2 d(n)均值的渐近估计 6.3.3 σ(n)均值的渐近估计 6.4 Euler函数 6.4.1 Euler函数的基本性质 6.4.2 Euler函数均值的渐近估计 6.5 Gauss圆内整点问题 6.5.1 Gauss整数环 6.5.2 r(n)的精确公式 6.5.3 Gauss圆内整点问题 习题 第七章 连分数 7.1 连分数的基本性质 7.1.1 连分式 7.1.2 连分数的值 7.1.3 实数的连分数表示 7.1.4 无理数的连分数逼近 7.1.5 模等价 7.2 循环连分数与实二次无理数 7.2.1 循环连分数与实二次无理数 7.2.2 纯循环连分数与约化实二次无理数 7.3 Pell方程 7.3.1 实二次无理数连分数展式的周期 7.3.2 Pell方程的正整数解 7.3.3 Pell方程的整数解 习题 第八章 二元二次型 8.1 二次型的约化理论 8.1.1 二次型的等价 8.1.2 二次型的正常等价类 8.1.3 二次型与二次无理数 8.1.4 正定型的约化理论 8.1.5 不定型的约化理论 8.2 二次型的复合 8.2.1 Bhargava立方体 8.2.2 SL2(Z)在Bhargava立方体上的作用 8.2.3 二次型的复合 8.2.4 二次型复合的应用 8.2.5 几种复合之比较 8.2.6 二次型与二次域 8.3 Gauss亏格理论 8.3.1 Gauss符号 8.3.2 Kronecker符号 8.3.3 群(Z/DZ)×的特征组 8.3.4 歧型 8.3.5 三元二次型 习题 附录A 群、环、域初步 A.1 群 A.1.1 群的基本概念及性质 A.1.2 群同态基本定理 A.1.3 群中元素的阶 A.1.4 循环群 A.1.5 有限生成Abel群 A.1.6 群在集合上的作用 A.2 环 A.2.1 环的定义和例子 A.2.2 多项式环 A.3 域 A.3.1 域上的多项式 A.3.2 二次无理数与二次域 习题 参考文献

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