数据分析

本书着重介绍各种数据分析技术背后的原理，有利于实践者将技术具体应用到各种领域，或者在此基础上发展新的技术。全书分三部分。靠前部分介绍统计学基本概念，包括蒙特卡罗方法和马尔科夫链。二部分介绍统计学，并从频率派和贝叶斯派两种角度对比分析了各种数据建模的工具。三部分重点介绍各种数据分析方法，比如关联函数、周期图、图像重建等。附录提供了相关的数学知识，以备读者查阅。本书可作为物理、工程相关专业研究生关于数据分析技术的标准教材，也可供科学家和工程师参考阅读。

前言 章概率 1.1概率定律 1.2概率分布 1.2.1离散和连续概率分布 1.2.2累积概率分布函数 1.2.3变量变化 1.3概率分布的特征 1.3.1中位数、众数和半峰全宽 1.3.2矩、均值和方差 1.3.3矩母函数和特征函数 1.4多变量概率分布 1.4.1两个独立变量的分布 1.4.2协方差 1.4.3多个独立变量的分布 2章一些有用的概率分布函数 2.1排列组合 2.2二项分布 2.3泊松分布 2.4高斯分布（正态分布） 2.4.1用中心极限定理推导高斯分布 2.4.2关于中心极限定理的摘要和评论 2.4.3高斯分布的均值、矩和方差 2.5多元高斯分布 2.6卡方分布 2.6.1卡方分布的推导 2.6.2卡方分布的均值、众数和方差 2.6.3n取极值的卡方分布 2.6.4简化卡方 2.6.5相关变量的卡方 2.7贝塔分布 3章随机数和蒙特卡罗方法 3.1引言 3.2不均匀随机偏差 3.2.1逆向累积分布函数 3.2.2多维偏差 3.2.3生成高斯偏差的Box-Müller方法 3.2.4接受拒绝算法 3.2.5均匀分布比例法 3.2.6从更复杂的概率分布中产生随机偏差 3.3蒙特卡罗积分 3.4马尔可夫链 3.4.1平稳有限的马尔可夫链 3.4.2不变概率分布 3.4.3连续参数和多参数马尔可夫链 3.5马尔可夫链蒙特卡罗采样 3.5.1马尔可夫链蒙特卡罗计算示例 3.5.2Metropolis-Hastings算法 3.5.3吉布斯采样器 4章频率统计学基础 4.1频率统计学简介 4.2未加数据的均值与方差 4.3含有不相关测量误差的数据 4.4有相关测量误差的数据 4.5方差的方差和学生t分布 4.5.1方差的方差 4.5.2学生t分布 4.5.3总结 4.6主成分分析及其相关系数 4.6.1相关系数 4.6.2主成分分析 4.7柯尔莫诺夫斯米尔诺夫检验 4.7.1单样本K-S检验 4.7.2双样本K-S检验 5章线性小二乘估计 5.1引言 5.2似然统计 5.2.1似然函数 5.2.2似然原理 5.2.3与小二乘和χ2小化的关系 5.3多项式对数据的拟合 5.3.1直线拟合 5.3.2任意多项式拟合 5.3.3方差、协方差和偏差 5.3.4蒙特卡罗误差分析 5.4协方差的需求和误差的传播 5.4.1协方差的需求 5.4.2误差的传播 5.4.3蒙特卡罗误差传播 5.5广义线性小二乘法 5.5.1非多项式函数的线性小二乘法 5.5.2测量误差之间的相关性拟合 5.5.3拟合优度的χ2检验 5.6多个因变量拟合 6章非线性小二乘估计 6.1引言 6.2非线性拟合的线性化 6.2.1数据含有不相关测量误差 6.2.2数据含有相关测量误差 6.2.3实际考量 6.3其他小化S的方法 6.3.1网格映射法 6.3.2速下降法、牛顿法以及马夸特法 6.3.3单纯形优化 6.3.4模拟退火法 6.4误差估计 6.4.1黑塞矩阵的逆阵 6.4.2直接计算协方差矩阵 6.4.3总结以及估计的协方差矩阵 6.5置信极限 6.6自变量和因变量都含有误差的拟合 6.6.1含有不相关误差的数据 6.6.2含有相关误差的数据 7章贝叶斯统计 7.1贝叶斯统计简介 7.2单参数估计：均值、众数和方差 7.2.1引言 7.2.2高斯先验和似然函数 7.2.3二项分布和贝塔分布 7.2.4泊松分布和一致的先验 7.2.5关于先验概率分布的更多信息 7.3多参数估计 7.3.1问题的形式描述 7.3.2拉普拉斯近似 7.3.3高斯似然函数和先验：与小二乘的联系 7.3.4困难的后验分布：马尔可夫链蒙特卡罗采样 7.3.5可信区间 7.4假设检验 7.5讨论 7.5.1先验概率分布 7.5.2似然函数 7.5.3后验分布函数 7.5.4概率的含义 7.5.5思考 8章傅里叶分析导论 8.1引言 8.2完备的标准正交函数集合 8.3傅里叶级数 8.4傅里叶变换 8.4.1傅里叶变换对 8.4.2有用的傅里叶变换对的总结 8.5离散傅里叶变换 8.5.1从连续傅里叶变换推导 8.5.2从离散取样的正弦和余弦函数的正交关系推导 8.5.3帕塞瓦尔定理和功率谱 8.6卷积和卷积定理 8.6.1卷积 8.6.2卷积定理 9章序列分析：功率谱和周期图 9.1引言 9.2连续序列：数据窗口、谱窗口以及混叠 9.2.1数据窗口和谱窗口 9.2.2混叠 9.2.3任意的数据窗口 9.3离散序列 9.3.1过量采样Fm的必要性 9.3.2奈奎斯特频率 9.3.3整合采样 9.4噪声的影响 9.4.1确定性的或随机性的过程 9.4.2白噪声的功率谱 9.4.3噪声环境下的确定性信号 9.4.4非白、非高斯噪声 9.5非一致间隔的序列 9.5.1小二乘周期图 9.5.2Lomb-Scargle周期图 9.5.3一般化的Lomb-Scargle周期图 9.6有变化周期的信号：O-C图 0章序列分析：卷积和协方差 10.1卷积回顾 10.1.1脉冲响应函数 10.1.2频率响应函数 10.2反卷积和数据重建 10.2.1噪声在反卷积中的效用 10.2.2维纳反卷积 10.2.3Richardson-Lucy算法 10.3自协方差函数 10.3.1自协方差函数的基本性质 10.3.2与功率谱的关系 10.3.3随机过程的应用 10.4互协方差函数 10.4.1互协方差函数的基本性质 10.4.2与χ2和互谱的关系 10.4.3噪声中脉冲信号的检测 附录A一些有用定积分 附录B拉格朗日乘数法 附录C高斯概率分布的附加性质 附录Dn维球体 附录E线性代数和矩阵回顾 附录F当n值变时［1+f(x)/n］n的极限 附录G脉冲响应函数的格林函数解 附录H二阶自回归过程

Edward L. Robinson，美国德州大学奥斯丁分校天文学系教授。

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