组合证明的艺术

本书作者采取对话式的风格讲述了关于组合数学的有趣的内容，使读者能感受到阅读的愉悦。书中时不时会有一些惊喜，比如用图像化的处理方法以及用易于推广的证明方式，证明了许多组合数学中重要的恒等式。 全书共有9章: 第1章介绍了斐波那契数列的组合解释；第2章介绍了广义斐波那契数列和卢卡斯数列；第3章通过对平铺进行着色，引入了线性递推的组合解释；第4章介绍了连分式；第5章介绍了有关二项式系数的内容；第6章讨论了正负号交错的二项式恒等式；第7章探究了调和数与第一类斯特林数之间的关系；第8章介绍了连续整数和、费马小定理、威尔逊定理以及一部分拉格朗日定理的逆定理；第9章介绍了进阶斐波那契恒等式和其他一些恒等式。 本书可作为组合数学课程的补充读物，读者无论是高中生还是数学方面的研究人员，均会不同程度地受益。

前 言 第 1 章 斐波那契恒等式 1 1.1 斐波那契数的组合 解释 1 1.2 恒等式 2 1.3 有趣的应用 13 1.4 注记 15 1.5 练习 16 第 2 章 广义斐波那契恒等式 和卢卡斯恒等式 19 2.1 卢卡斯数的组合解释 19 2.2 卢卡斯恒等式 21 2.3 广义斐波那契数 (Gibonacci 数) 的组合解释 26 2.4 广义斐波那契 (Gibonacci) 恒等式 26 2.5 注记 36 2.6 练习 36 第 3 章 线性递推 38 3.1 线性递推的组合解释 38 3.2 二阶递推恒等式 41 3.3 三阶递推恒等式 43 3.4 k 阶递推恒等式 47 3.5 来点实在的! 任意权重与初始 条件 48 3.6 注记 50 3.7 练习 50 第 4 章 连分式 53 4.1 连分式的组合解释 53 4.2 恒等式 56 4.3 非简单连分式 62 4.4 再来点实在的 64 4.5 注记 64 4.6 练习 64 第 5 章 二项式恒等式 67 5.1 二项式系数的组合 解释 67 5.2 基本恒等式 68 5.3 更多二项式系数恒 等式 73 5.4 可重复选择 76 5.5 帕斯卡三角形中的 奇数 82 5.6 注记 86 5.7 练习 86 第 6 章 正负号交错的二项式 恒等式 89 6.1 奇偶性讨论与容斥 原理 89 6.2 正负号交错的二项式系数 恒等式 92 6.3 注记 99 6.4 练习 99 第 7 章 调和数与斯特林数 101 7.1 调和数与排列数 101 7.2 第一类斯特林数 103 7.3 调和数的组合解释 108 7.4 调和数恒等式的证明 110 7.5 第二类斯特林数 115 7.6 注记 119 7.7 练习 119 第 8 章 数论 122 8.1 算术恒等式 122 8.2 代数与数论 128 8.3 重提最大公因数 132 8.4 卢卡斯定理 134 8.5 注记 137 8.6 练习 138 第 9 章 进阶斐波那契和卢卡斯 恒等式 140 9.1 更多斐波那契和卢卡斯 恒等式 140 9.2 着色恒等式 145 9.3 一些 “随机” 恒等式与 黄金分割 153 9.4 斐波那契和卢卡斯 多项式 158 9.5 负数 160 9.6 开放问题和瓦伊达 (Vajda) 数据 160 章节练习中部分习题的提示与解法 164 参考文献 190

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